1公式と解法
貨幣の時間価値
- 将来価値
- FV = PV·(1 + i)n
- 現在価値
- PV = FV/(1 + i)n
- 年に複数の期間
- i = r/m, N = m·n
- 年金現価
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金終価
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
解き方
- すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
- 利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
- 一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
- 答えの符号と桁を確認します。
債券の価格と利回り
- 債券価格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年ごとの利払い
- C/2、y/2、2n 期
- 直接利回り
- C/P
- 価格と利回り
- 利回り上昇 → 価格下落
解き方
- 1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
- 価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
- 半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
- 確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。
CAPM と WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企業価値
- V = E + D
NPV と IRR
- 正味現在価値
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 均等なキャッシュフロー
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部収益率
- NPV = 0 となる r
- 判断
- NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用
解き方
- すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
- 各キャッシュフローを割り引きます：CFt/(1 + r)t。
- それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
- IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。
2演習問題
1.貨幣の時間価値ふつう
年金が毎年末に €1 500 を 10 年間支払います。利率は年 3% です。この年金の現在価値 PV を求めなさい。
A = €1 500i = 3%n = 10
PV = €
2.貨幣の時間価値むずかしい
20 年後に €20 000 が欲しいとします。年 4.2%、月複利の口座に、毎月末に同じ額を積み立てます。毎月の積立額 A を求めなさい。
FV = €20 0004.2% / 12N = 240
A = €
3.債券の価格と利回りふつう
額面 €1 000 の債券が、年 3% のクーポンを年 2 回に分けて半年ごとに支払い、7 年後に満期を迎えます。最終利回りは年 5.5% です。 この債券の価格 P を求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 3%YTM = 5.5%n = 7
P = €
4.債券の価格と利回りむずかしい
残存期間 18 年の債券（額面 €1 000、年間クーポン 8%）が €1 156 で売られています。発行者は 4 年後に €1 080 の償還価格で繰上償還できます。繰上償還利回り YTC をパーセントで求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 8%P = €1 156繰上償還価格 = €1 080繰上償還まで 4 年
YTC = %
5.CAPM と WACCふつう
ある企業は時価 €6 000 000 の株主資本と時価 €1 000 000 の負債をもっています。株主資本コストは 12%、税引前負債コストは 4.5%、税率は 25% です。WACC を求めなさい。
E = €6 000 000D = €1 000 000re = 12%rd = 4.5%T = 25%
WACC = %
6.CAPM と WACCむずかしい
ある企業は1 株 €50.00 の株式 4 000 000 株と、1 口 €980 で取引されている債券 5 000 口をもっています。税引前負債コストは 4%、税率は 25% です。株式のベータは 1.8、無リスク金利は 1.5%、市場収益率は 6.5% です。WACC を求めなさい。
β = 1.8rf = 1.5%rm = 6.5%rd = 4%T = 25%
WACC = %
7.NPV と IRRふつう
あるプロジェクトの費用は今日 €250 000 です。1 年目の末に €26 000 を生み、その後キャッシュフローは永久に年 4% ずつ増加します。資本コストは 12% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。
C0 = €250 000CF1 = €26 000g = 4%r = 12%
NPV = €
8.NPV と IRRむずかしい
あるプロジェクトは €20 000 かかり、1 年目から 3 年目の各年末に €8 500, €13 000, €9 500 を生みます。内部収益率 IRR をパーセントで求めなさい。
CF0 = −20 000CF1 = 8 500CF2 = 13 000CF3 = 9 500
IRR = %
3溶液
1.貨幣の時間価値
答え: PV = 12795 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
年金現価係数
(1 − (1 + i)−n)/i = (1 − 0.7441)/0.03 = 8.53
現在価値
PV = 1 500·8.53 = €12 795.30
2.貨幣の時間価値
答え: A = 53.31 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
月利と積立回数
i = 0.042/12 = 0.0035
N = 12·20 = 240
積立額
A = FV·i/((1 + i)N − 1) = 20 000·0.0035/(2.313 − 1) = €53.31
3.債券の価格と利回り
答え: P = 856.4 €
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
1 期あたり
C = €15.00, i = 0.0275, N = 14
クーポンの現在価値
€15.00·(1 − 0.684)/0.0275 = €172.37
利回りがクーポンレートより高いので、債券は額面より安く（アンダーパーで）売られます。
4.債券の価格と利回り
答え: YTC = 5.404 %
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
利回りの方程式
1156 = 80·(1 − (1 + y)−4)/y + 1080/(1 + y)4
数値的に解く
y = 5%: €1 172.19
y = 6%: €1 132.67
YTC = 5.404%
最終利回りは 6.504% です。オーバーパー債券の投資家は繰上償還を予想するので、低い方の繰上償還利回りの方が現実的です。
5.CAPM と WACC
答え: WACC = 10.77 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
ウェイト
V = €7 000 000, E/V = 0.8571, D/V = 0.1429
WACC
WACC = 0.8571·12% + 0.1429·4.5%·(1 − 0.25) = 10.77%
6.CAPM と WACC
答え: WACC = 10.32 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
時価
E = 4 000 000·€50.00 = €200 000 000
D = 5 000·€980 = €4 900 000
株主資本コスト（CAPM）
re = 1.5% + 1.8·5% = 10.5%
ウェイト
V = €204 900 000, E/V = 0.9761, D/V = 0.02391
WACC
WACC = 0.9761·10.5% + 0.02391·4%·(1 − 0.25) = 10.32%
7.NPV と IRR
答え: NPV = 75000 €
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
キャッシュフローの価値
PV = 26 000/(0.12 − 0.04) = 325 000.00
NPV
NPV = 325 000.00 − 250 000 = €75 000.00
NPV は正なので、このプロジェクトは要求収益率より多く稼ぎます。
8.NPV と IRR
答え: IRR = 24.95 %
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
IRR を挟み込む
利率が上がると NPV は下がるので、IRR は NPV が正の利率と負の利率の間にあります。
NPV(20%) = 1 608.80
NPV(25%) = −16.00
絞り込む
線形補間で最初の見積もりが得られます。これを繰り返す（または電卓の IRR 機能を使う）と正確な利率が得られます。
IRR ≈ 20 + 5·1 608.80/(1 608.80 − (−16.00)) = 24.95%
正確な値: NPV(24.95%) = 0 → IRR = 24.95%