1公式と解法
貨幣の時間価値
- 将来価値
- FV = PV·(1 + i)n
- 現在価値
- PV = FV/(1 + i)n
- 年に複数の期間
- i = r/m, N = m·n
- 年金現価
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金終価
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
解き方
- すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
- 利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
- 一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
- 答えの符号と桁を確認します。
債券の価格と利回り
- 債券価格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年ごとの利払い
- C/2、y/2、2n 期
- 直接利回り
- C/P
- 価格と利回り
- 利回り上昇 → 価格下落
解き方
- 1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
- 価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
- 半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
- 確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。
CAPM と WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企業価値
- V = E + D
NPV と IRR
- 正味現在価値
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 均等なキャッシュフロー
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部収益率
- NPV = 0 となる r
- 判断
- NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用
解き方
- すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
- 各キャッシュフローを割り引きます：CFt/(1 + r)t。
- それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
- IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。
2演習問題
1.貨幣の時間価値ふつう
年金が毎年末に €500 を 20 年間支払います。利率は年 7% です。この年金の現在価値 PV を求めなさい。
A = €500i = 7%n = 20
PV = €
2.貨幣の時間価値むずかしい
15 年間、毎月末に €50 を積み立てます。口座の利率は年 4.2%、月複利です。最後にいくら貯まりますか？FV を求めなさい。
A = €504.2% / 12N = 180
FV = €
3.債券の価格と利回りふつう
額面 €1 000 の債券が、年 7% のクーポンを年 2 回に分けて半年ごとに支払い、9 年後に満期を迎えます。最終利回りは年 2.5% です。 この債券の価格 P を求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 7%YTM = 2.5%n = 9
P = €
4.債券の価格と利回りむずかしい
ある債券が €1 080 で取引され、最終利回りは 4%（年複利）、マコーレー・デュレーションは 5.6 年です。利回りが 100 ベーシスポイント上昇した場合の新しい価格 P を、修正デュレーションを使って推定しなさい。
P0 = €1 080y = 4%D = 5.6Δy = +100 bp
P = €
5.CAPM と WACCふつう
ある会社の株主資本の価値は €4 000 000、負債の価値は €1 000 000 です。WACC は 6.87%、税引前負債コストは 3%、税率は 21% です。株主資本コスト re を求めなさい。
E = €4 000 000D = €1 000 000WACC = 6.87%rd = 3%T = 21%
re = %
6.CAPM と WACCむずかしい
ある企業は1 株 €51.50 の株式 4 000 000 株と、1 口 €1 000 で取引されている債券 20 000 口をもっています。税引前負債コストは 7%、税率は 20% です。株式のベータは 1.2、無リスク金利は 1%、市場収益率は 6% です。WACC を求めなさい。
β = 1.2rf = 1%rm = 6%rd = 7%T = 20%
WACC = %
7.NPV と IRRふつう
€30 000 の投資が、1 年目から 3 年目の各年末に次のキャッシュフローを生みます：€11 000, €8 000, €8 000。資本コストは 9% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。
r = 9%CF0 = −30 000CF1 = 11 000CF2 = 8 000CF3 = 8 000
NPV = €
8.NPV と IRRむずかしい
あるプロジェクトは €20 000 かかり、1 年目から 3 年目の各年末に €9 000, €9 000, €8 500 を生みます。内部収益率 IRR をパーセントで求めなさい。
CF0 = −20 000CF1 = 9 000CF2 = 9 000CF3 = 8 500
IRR = %
3溶液
1.貨幣の時間価値
答え: PV = 5297 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
年金現価係数
(1 − (1 + i)−n)/i = (1 − 0.2584)/0.07 = 10.59
現在価値
PV = 500·10.59 = €5 297.01
2.貨幣の時間価値
答え: FV = 12508 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
月利と積立回数
i = 0.042/12 = 0.0035
N = 12·15 = 180
積立金の将来価値
FV = A·((1 + i)N − 1)/i = 50·(1.876 − 1)/0.0035 = €12 507.81
自分で払い込んだのは €9 000。残りは利息です。
3.債券の価格と利回り
答え: P = 1361 €
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
1 期あたり
C = €35.00, i = 0.0125, N = 18
クーポンの現在価値
€35.00·(1 − 0.7996)/0.0125 = €561.03
利回りがクーポンレートより低いので、債券は額面より高く（オーバーパーで）売られます。
4.債券の価格と利回り
答え: P = 1022 €
デュレーション：マコーレー・デュレーションは、キャッシュフローの現在価値を重みとした、債券がキャッシュフローを支払う時点の加重平均です：D = Σ t·PVₜ/P。修正デュレーション D/(1 + y) は、利回りがわずかに変化したときの価格変化率を推定します：%ΔP ≈ −Dmod·Δy。
推定価格変化
%ΔP ≈ −5.385·(0.01) = −5.385%
P ≈ 1080·(1 − 0.05385) = €1 021.85
デュレーションは線形の推定です。利回りの変化が大きいと、コンベクシティにより実際の価格は少し高くなります。
5.CAPM と WACC
答え: re = 7.995 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
ウェイト
V = €5 000 000, E/V = 0.8, D/V = 0.2
WACC の負債の部分
0.2·3%·(1 − 0.21) = 0.474%
株主資本コスト
re = (6.87% − 0.474%)/0.8 = 7.995%
6.CAPM と WACC
答え: WACC = 6.876 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
時価
E = 4 000 000·€51.50 = €206 000 000
D = 20 000·€1 000 = €20 000 000
ウェイト
V = €226 000 000, E/V = 0.9115, D/V = 0.0885
WACC
WACC = 0.9115·7% + 0.0885·7%·(1 − 0.2) = 6.876%
7.NPV と IRR
答え: NPV = −6997 €
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
各キャッシュフローの現在価値
CF0 = −30 000
CF1/(1 + 0.09)1 = 11 000/1.09 = 10 091.74
CF2/(1 + 0.09)2 = 8 000/1.188 = 6 733.44
CF3/(1 + 0.09)3 = 8 000/1.295 = 6 177.47
NPV は負なので、このプロジェクトは要求収益率より少なくしか稼ぎません。
8.NPV と IRR
答え: IRR = 15.67 %
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
IRR を挟み込む
利率が上がると NPV は下がるので、IRR は NPV が正の利率と負の利率の間にあります。
NPV(15%) = 220.27
NPV(20%) = −1 331.02
絞り込む
線形補間で最初の見積もりが得られます。これを繰り返す（または電卓の IRR 機能を使う）と正確な利率が得られます。
IRR ≈ 15 + 5·220.27/(220.27 − (−1 331.02)) = 15.71%
正確な値: NPV(15.67%) = 0 → IRR = 15.67%