投資と企業価値評価：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

貨幣の時間価値

将来価値: FV = PV·(1 + i)ⁿ
現在価値: PV = FV/(1 + i)ⁿ
年に複数の期間: i = r/m, N = m·n
年金現価: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金終価: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

解き方

すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
答えの符号と桁を確認します。

債券の価格と利回り

債券価格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年ごとの利払い: C/2、y/2、2n 期
直接利回り: C/P
価格と利回り: 利回り上昇 → 価格下落

解き方

1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。

CAPM と WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企業価値: V = E + D

NPV と IRR

正味現在価値: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
均等なキャッシュフロー: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部収益率: NPV = 0 となる r
判断: NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用

解き方

すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
各キャッシュフローを割り引きます：CF_t/(1 + r)^t。
それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。

2演習問題

1.貨幣の時間価値ふつう

名目年利 3%、四半期複利で €20 000 を投資します。6 年後の投資の価値 FV を求めなさい。

PV = €20 0003% / 4n = 6

FV = €

2.貨幣の時間価値むずかしい

19 年後に €10 000 が欲しいとします。年 7.2%、月複利の口座に、毎月末に同じ額を積み立てます。毎月の積立額 A を求めなさい。

FV = €10 0007.2% / 12N = 228

A = €

3.債券の価格と利回りふつう

最終利回りが 5.5% のときに、残存期間 12 年の債券（額面 €1 000、年間クーポン 4%）を購入します。1 年後、最初のクーポンを受け取った直後に、最終利回りが 5% のときに売却します。保有期間利回り HPR をパーセントで求めなさい。

F = €1 000クーポンレート = 4%n = 12y₀ = 5.5%y₁ = 5%

HPR = %

4.債券の価格と利回りむずかしい

額面 €1 000 の債券が年 4% のクーポンを半年ごとの 2 回に分けて支払い、7 年後に満期を迎えます。価格は €836 です。最終利回り YTM を年率（半年利回りの 2 倍）としてパーセントで求めなさい。

F = €1 000クーポンレート = 4% (2×)n = 7P = €836

YTM = %

5.CAPM と WACCふつう

ある企業は時価 €2 000 000 の株主資本と時価 €3 000 000 の負債をもっています。株主資本コストは 9%、税引前負債コストは 7%、税率は 30% です。WACC を求めなさい。

E = €2 000 000D = €3 000 000r_e = 9%r_d = 7%T = 30%

WACC = %

6.CAPM と WACCむずかしい

ある企業は1 株 €39.50 の株式 4 000 000 株と、1 口 €980 で取引されている債券 10 000 口をもっています。税引前負債コストは 7%、税率は 30% です。株式のベータは 1.8、無リスク金利は 2%、市場収益率は 9% です。WACC を求めなさい。

β = 1.8r_f = 2%r_m = 9%r_d = 7%T = 30%

WACC = %

7.NPV と IRRふつう

あるプロジェクトの費用は今日 €100 000 です。1 年目の末に €3 000 を生み、その後キャッシュフローは永久に年 4% ずつ増加します。資本コストは 8% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。

C₀ = €100 000CF₁ = €3 000g = 4%r = 8%

NPV = €

8.NPV と IRRむずかしい

あるプロジェクトは €20 000 かかり、1 年目から 3 年目の各年末に €14 500, €9 500, €13 000 を生みます。内部収益率 IRR をパーセントで求めなさい。

CF₀ = −20 000CF₁ = 14 500CF₂ = 9 500CF₃ = 13 000

IRR = %

3溶液

1.貨幣の時間価値

答え: FV = 23928 €

貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)ⁿ のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。

利率と期間数

i = r/m = 0.03/4 = 0.0075

N = m·n = 4·6 = 24

将来価値

FV = 20 000·(1 + 0.0075)²⁴ = 20 000·1.196 = €23 928.27

答え

FV = €23 928.27

2.貨幣の時間価値

答え: A = 20.61 €

月利と積立回数

i = 0.07200000000000001/12 = 0.006

N = 12·19 = 228

積立額

A = FV·i/((1 + i)^N − 1) = 10 000·0.006/(3.911 − 1) = €20.61

答え

A = €20.61

3.債券の価格と利回り

答え: HPR = 9.901 %

債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。

購入価格

C = €40.00, i = 0.055, N = 12

€40.00·(1 − 0.526)/0.055 + €1 000·0.526 = €344.74 + €525.98 = €870.72

売却価格

C = €40.00, i = 0.05, N = 11

€40.00·(1 − 0.5847)/0.05 + €1 000·0.5847 = €332.26 + €584.68 = €916.94

保有期間利回り

HPR = (40 + 916.94 − 870.72)/870.72 = 9.901%

答え

HPR = 9.901%

4.債券の価格と利回り

答え: YTM = 7.004 %

1 期あたり

C = €20.00, N = 14

数値的に解く

i = 3.502% 半年あたり

YTM

YTM = 2·3.502% = 7.004%

答え

YTM = 7.004%

5.CAPM と WACC

答え: WACC = 6.54 %

資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。

ウェイト

V = €5 000 000, E/V = 0.4, D/V = 0.6

WACC

WACC = 0.4·9% + 0.6·7%·(1 − 0.3) = 6.54%

答え

WACC = 6.54%

6.CAPM と WACC

答え: WACC = 14.03 %

時価

E = 4 000 000·€39.50 = €158 000 000

D = 10 000·€980 = €9 800 000

株主資本コスト（CAPM）

r_e = 2% + 1.8·7% = 14.6%

ウェイト

V = €167 800 000, E/V = 0.9416, D/V = 0.0584

WACC

WACC = 0.9416·14.6% + 0.0584·7%·(1 − 0.3) = 14.03%

答え

WACC = 14.03%

7.NPV と IRR

答え: NPV = −25000 €

正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。

キャッシュフローの価値

PV = 3 000/(0.08 − 0.04) = 75 000.00

NPV

NPV = 75 000.00 − 100 000 = −€25 000.00

答え

NPV = −€25 000.00

NPV は負なので、このプロジェクトは要求収益率より少なくしか稼ぎません。

8.NPV と IRR

答え: IRR = 39.76 %

IRR を挟み込む

利率が上がると NPV は下がるので、IRR は NPV が正の利率と負の利率の間にあります。

NPV(35%) = 1 237.11

NPV(40%) = −58.31

絞り込む

線形補間で最初の見積もりが得られます。これを繰り返す（または電卓の IRR 機能を使う）と正確な利率が得られます。

IRR ≈ 35 + 5·1 237.11/(1 237.11 − (−58.31)) = 39.77%

正確な値: NPV(39.76%) = 0 → IRR = 39.76%

答え

IRR = 39.76%

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