1公式と解法
貨幣の時間価値
- 将来価値
- FV = PV·(1 + i)n
- 現在価値
- PV = FV/(1 + i)n
- 年に複数の期間
- i = r/m, N = m·n
- 年金現価
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金終価
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
解き方
- すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
- 利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
- 一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
- 答えの符号と桁を確認します。
債券の価格と利回り
- 債券価格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年ごとの利払い
- C/2、y/2、2n 期
- 直接利回り
- C/P
- 価格と利回り
- 利回り上昇 → 価格下落
解き方
- 1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
- 価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
- 半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
- 確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。
CAPM と WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企業価値
- V = E + D
NPV と IRR
- 正味現在価値
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 均等なキャッシュフロー
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部収益率
- NPV = 0 となる r
- 判断
- NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用
解き方
- すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
- 各キャッシュフローを割り引きます：CFt/(1 + r)t。
- それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
- IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。
2演習問題
1.貨幣の時間価値ふつう
名目年利 4%、四半期複利で €1 000 を投資します。6 年後の投資の価値 FV を求めなさい。
PV = €1 0004% / 4n = 6
FV = €
2.貨幣の時間価値むずかしい
€200 000 の住宅ローンを、年 3%、月複利で 20 年間の元利均等の月払いで返済します。9 年目の末の支払い直後に、まだいくら残っていますか？残高 B を求めなさい。
P = €200 0003% / 12N = 240k = 108
B = €
3.債券の価格と利回りふつう
額面 €1 000 の債券が、年 4.5% のクーポンを年 2 回に分けて半年ごとに支払い、8 年後に満期を迎えます。最終利回りは年 8% です。 この債券の価格 P を求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 4.5%YTM = 8%n = 8
P = €
4.債券の価格と利回りむずかしい
ある債券が €910 で取引され、最終利回りは 3%（年複利）、マコーレー・デュレーションは 9.1 年です。利回りが 150 ベーシスポイント上昇した場合の新しい価格 P を、修正デュレーションを使って推定しなさい。
P0 = €910y = 3%D = 9.1Δy = +150 bp
P = €
5.CAPM と WACCふつう
ある企業は時価 €5 000 000 の株主資本と時価 €1 000 000 の負債をもっています。株主資本コストは 11%、税引前負債コストは 5%、税率は 28% です。WACC を求めなさい。
E = €5 000 000D = €1 000 000re = 11%rd = 5%T = 28%
WACC = %
6.CAPM と WACCむずかしい
ある企業は1 株 €57.00 の株式 4 000 000 株と、1 口 €1 000 で取引されている債券 10 000 口をもっています。税引前負債コストは 4.5%、税率は 28% です。株式のベータは 1.3、無リスク金利は 1%、市場収益率は 5% です。WACC を求めなさい。
β = 1.3rf = 1%rm = 5%rd = 4.5%T = 28%
WACC = %
7.NPV と IRRふつう
€45 000 の投資が、1 年目から 3 年目の各年末に次のキャッシュフローを生みます：€11 000, €19 000, €13 000。資本コストは 6% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。
r = 6%CF0 = −45 000CF1 = 11 000CF2 = 19 000CF3 = 13 000
NPV = €
8.NPV と IRRむずかしい
あるプロジェクトは €25 000 かかり、1 年目から 2 年目の各年末に €18 500, €10 000 を生みます。内部収益率 IRR をパーセントで求めなさい。
CF0 = −25 000CF1 = 18 500CF2 = 10 000
IRR = %
3溶液
1.貨幣の時間価値
答え: FV = 1270 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
利率と期間数
i = r/m = 0.04/4 = 0.01
N = m·n = 4·6 = 24
将来価値
FV = 1 000·(1 + 0.01)24 = 1 000·1.27 = €1 269.73
2.貨幣の時間価値
答え: B = 124576 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
毎月の返済額
i = 0.0025, N = 240
A = 200 000·0.0025/(1 − (1 + 0.0025)−240) = €1 109.20
残りの支払いの現在価値
まだ残っている借入は、残りの支払いでちょうど完済されなければなりません。
N − k = 240 − 108 = 132
B = 1109·(1 − (1 + 0.0025)−132)/0.0025 = €124 575.99
3.債券の価格と利回り
答え: P = 796.1 €
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
1 期あたり
C = €22.50, i = 0.04, N = 16
クーポンの現在価値
€22.50·(1 − 0.5339)/0.04 = €262.18
利回りがクーポンレートより高いので、債券は額面より安く（アンダーパーで）売られます。
4.債券の価格と利回り
答え: P = 789.4 €
デュレーション：マコーレー・デュレーションは、キャッシュフローの現在価値を重みとした、債券がキャッシュフローを支払う時点の加重平均です：D = Σ t·PVₜ/P。修正デュレーション D/(1 + y) は、利回りがわずかに変化したときの価格変化率を推定します：%ΔP ≈ −Dmod·Δy。
推定価格変化
%ΔP ≈ −8.835·(0.015) = −13.25%
P ≈ 910·(1 − 0.1325) = €789.40
デュレーションは線形の推定です。利回りの変化が大きいと、コンベクシティにより実際の価格は少し高くなります。
5.CAPM と WACC
答え: WACC = 9.767 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
ウェイト
V = €6 000 000, E/V = 0.8333, D/V = 0.1667
WACC
WACC = 0.8333·11% + 0.1667·5%·(1 − 0.28) = 9.767%
6.CAPM と WACC
答え: WACC = 6.076 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
時価
E = 4 000 000·€57.00 = €228 000 000
D = 10 000·€1 000 = €10 000 000
ウェイト
V = €238 000 000, E/V = 0.958, D/V = 0.04202
WACC
WACC = 0.958·6.2% + 0.04202·4.5%·(1 − 0.28) = 6.076%
7.NPV と IRR
答え: NPV = −6798 €
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
各キャッシュフローの現在価値
CF0 = −45 000
CF1/(1 + 0.06)1 = 11 000/1.06 = 10 377.36
CF2/(1 + 0.06)2 = 19 000/1.124 = 16 909.93
CF3/(1 + 0.06)3 = 13 000/1.191 = 10 915.05
NPV は負なので、このプロジェクトは要求収益率より少なくしか稼ぎません。
8.NPV と IRR
答え: IRR = 10.27 %
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
IRR を挟み込む
利率が上がると NPV は下がるので、IRR は NPV が正の利率と負の利率の間にあります。
NPV(10%) = 82.64
NPV(15%) = −1 351.61
絞り込む
線形補間で最初の見積もりが得られます。これを繰り返す（または電卓の IRR 機能を使う）と正確な利率が得られます。
IRR ≈ 10 + 5·82.64/(82.64 − (−1 351.61)) = 10.29%
正確な値: NPV(10.27%) = 0 → IRR = 10.27%