投資と企業価値評価：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

貨幣の時間価値

将来価値: FV = PV·(1 + i)ⁿ
現在価値: PV = FV/(1 + i)ⁿ
年に複数の期間: i = r/m, N = m·n
年金現価: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金終価: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

解き方

すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
答えの符号と桁を確認します。

債券の価格と利回り

債券価格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年ごとの利払い: C/2、y/2、2n 期
直接利回り: C/P
価格と利回り: 利回り上昇 → 価格下落

解き方

1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。

CAPM と WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企業価値: V = E + D

NPV と IRR

正味現在価値: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
均等なキャッシュフロー: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部収益率: NPV = 0 となる r
判断: NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用

解き方

すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
各キャッシュフローを割り引きます：CF_t/(1 + r)^t。
それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。

2演習問題

1.貨幣の時間価値ふつう

名目年利 4.8%、月複利で €1 000 を投資します。2 年後の投資の価値 FV を求めなさい。

PV = €1 0004.8% / 12n = 2

FV = €

2.貨幣の時間価値むずかしい

€30 000 のローンを、年 4.8%、月複利で 4 年間の元利均等の月払いで返済します。ローン期間全体で支払う利息の合計 I はいくらですか？

P = €30 0004.8% / 12N = 48

I = €

3.債券の価格と利回りふつう

額面 €1 000 の債券が 14 年後に満期を迎え、年 1 回クーポンを支払います。最終利回りが 2.5% のとき €1 409 で売られています。クーポン利率 c をパーセントで求めなさい。

F = €1 000n = 14P = €1 409YTM = 2.5%

c = %

4.債券の価格と利回りむずかしい

額面 €1 000 の債券が年 7% のクーポンを半年ごとの 2 回に分けて支払い、12 年後に満期を迎えます。価格は €1 131 です。最終利回り YTM を年率（半年利回りの 2 倍）としてパーセントで求めなさい。

F = €1 000クーポンレート = 7% (2×)n = 12P = €1 131

YTM = %

5.CAPM と WACCふつう

ベータ 0.8 の株式の要求収益率は 6.9% です。無リスク金利は 2.5% です。CAPM から導かれる市場の期待収益率 r_m はいくらですか？

β = 0.8r_e = 6.9%r_f = 2.5%

r_m = %

6.CAPM と WACCむずかしい

ある企業は1 株 €42.00 の株式 1 000 000 株と、1 口 €1 000 で取引されている債券 10 000 口をもっています。税引前負債コストは 4.5%、税率は 20% です。株式のベータは 0.9、無リスク金利は 2.5%、市場収益率は 9.5% です。WACC を求めなさい。

β = 0.9r_f = 2.5%r_m = 9.5%r_d = 4.5%T = 20%

WACC = %

7.NPV と IRRふつう

€45 000 の投資が、1 年目から 3 年目の各年末に次のキャッシュフローを生みます：€19 000, €22 000, €12 000。資本コストは 5% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。

r = 5%CF₀ = −45 000CF₁ = 19 000CF₂ = 22 000CF₃ = 12 000

NPV = €

8.NPV と IRRむずかしい

あるプロジェクトは €10 000 かかり、1 年目から 2 年目の各年末に €4 500, €7 000 を生みます。内部収益率 IRR をパーセントで求めなさい。

CF₀ = −10 000CF₁ = 4 500CF₂ = 7 000

IRR = %

3溶液

1.貨幣の時間価値

答え: FV = 1101 €

貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)ⁿ のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。

利率と期間数

i = r/m = 0.048/12 = 0.004

N = m·n = 12·2 = 24

将来価値

FV = 1 000·(1 + 0.004)²⁴ = 1 000·1.101 = €1 100.55

答え

FV = €1 100.55

2.貨幣の時間価値

答え: I = 3032 €

毎月の返済額

i = 0.004, N = 48

A = 30 000·0.004/(1 − (1 + 0.004)⁻⁴⁸) = €688.16

利息の総額

I = N·A − P = 48·688.2 − 30 000 = €3 031.88

答え

I = €3 031.88

3.債券の価格と利回り

答え: c = 5.998 %

債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。

額面の現在価値

1000·(1 + 0.025)⁻¹⁴ = €707.73

クーポン

C = (1409 − 707.73)/11.69 = €59.98

クーポン・レート

c = 59.98/1000 = 5.998%

答え

c = 5.998%

4.債券の価格と利回り

答え: YTM = 5.495 %

1 期あたり

C = €35.00, N = 24

数値的に解く

i = 2.747% 半年あたり

YTM

YTM = 2·2.747% = 5.495%

答え

YTM = 5.495%

5.CAPM と WACC

答え: r_m = 8 %

資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。

市場リスクプレミアム

r_m − r_f = (6.9% − 2.5%)/0.8 = 5.5%

市場収益率

r_m = 2.5% + 5.5% = 8%

答え

r_m = 8%

6.CAPM と WACC

答え: WACC = 7.8 %

時価

E = 1 000 000·€42.00 = €42 000 000

D = 10 000·€1 000 = €10 000 000

株主資本コスト（CAPM）

r_e = 2.5% + 0.9·7% = 8.8%

ウェイト

V = €52 000 000, E/V = 0.8077, D/V = 0.1923

WACC

WACC = 0.8077·8.8% + 0.1923·4.5%·(1 − 0.2) = 7.8%

答え

WACC = 7.8%

7.NPV と IRR

答え: NPV = 3416 €

正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。

各キャッシュフローの現在価値

CF₀ = −45 000

CF₁/(1 + 0.05)¹ = 19 000/1.05 = 18 095.24

CF₂/(1 + 0.05)² = 22 000/1.103 = 19 954.65

CF₃/(1 + 0.05)³ = 12 000/1.158 = 10 366.05

合計する

NPV = €3 415.94

答え

NPV = €3 415.94

NPV は正なので、このプロジェクトは要求収益率より多く稼ぎます。

8.NPV と IRR

答え: IRR = 9.139 %

IRR を挟み込む

利率が上がると NPV は下がるので、IRR は NPV が正の利率と負の利率の間にあります。

NPV(5%) = 634.92

NPV(10%) = −123.97

絞り込む

線形補間で最初の見積もりが得られます。これを繰り返す（または電卓の IRR 機能を使う）と正確な利率が得られます。

IRR ≈ 5 + 5·634.92/(634.92 − (−123.97)) = 9.183%

正確な値: NPV(9.139%) = 0 → IRR = 9.139%

答え

IRR = 9.139%

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