投資と企業価値評価：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

貨幣の時間価値

将来価値: FV = PV·(1 + i)ⁿ
現在価値: PV = FV/(1 + i)ⁿ
年に複数の期間: i = r/m, N = m·n
年金現価: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金終価: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

解き方

すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
答えの符号と桁を確認します。

債券の価格と利回り

債券価格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年ごとの利払い: C/2、y/2、2n 期
直接利回り: C/P
価格と利回り: 利回り上昇 → 価格下落

解き方

1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。

CAPM と WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企業価値: V = E + D

NPV と IRR

正味現在価値: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
均等なキャッシュフロー: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部収益率: NPV = 0 となる r
判断: NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用

解き方

すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
各キャッシュフローを割り引きます：CF_t/(1 + r)^t。
それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。

2演習問題

1.貨幣の時間価値ふつう

クレジットカードの名目年利は 18%、毎日複利です。実効年利率 EAR をパーセントで求めなさい。

r = 18%m = 365

EAR = %

2.貨幣の時間価値むずかしい

€8 000 のローンを 6 年間、毎月の元利均等払いで返済します。金利は年 3%、月複利です。毎月の返済額 A を求めなさい。

P = €8 0003% / 12N = 72

A = €

3.債券の価格と利回りふつう

額面 €1 000 の債券が、年 2% のクーポンを年 2 回に分けて半年ごとに支払い、5 年後に満期を迎えます。最終利回りは年 3% です。この債券の価格 P を求めなさい。

F = €1 000クーポンレート = 2%YTM = 3%n = 5

P = €

4.債券の価格と利回りむずかしい

額面 €1 000 の債券が年 4.5% のクーポンを支払い、4 年後に満期を迎えます。最終利回りは 9% です。マコーレー・デュレーション D を年で求めなさい。

F = €1 000クーポンレート = 4.5%n = 4YTM = 9%

D = 年

5.CAPM と WACCふつう

ある企業は時価 €12 000 000 の株主資本と時価 €6 000 000 の負債をもっています。株主資本コストは 12%、税引前負債コストは 5%、税率は 25% です。WACC を求めなさい。

E = €12 000 000D = €6 000 000r_e = 12%r_d = 5%T = 25%

WACC = %

6.CAPM と WACCむずかしい

ある会社の事業のアンレバードベータ（資産ベータ）は 0.9 です。負債資本比率を 0.4 にする計画です。税率は 21%、無リスク金利は 1%、市場リスクプレミアムは 4% です。新しい資本構成での株主資本コスト r_e を求めなさい。

β_U = 0.9D/E = 0.4T = 21%r_f = 1%r_m − r_f = 4%

r_e = %

7.NPV と IRRふつう

ある機械の費用は今日 €80 000、耐用年数は 8 年、運転費は毎年 €1 000（各年末に支払い）です。資本コストは 12% です。等価年間費用 EAC を求めなさい。

C₀ = €80 000M = €1 000n = 8r = 12%

EAC = €

8.NPV と IRRむずかしい

あるプロジェクトは €50 000 かかり、1 年目から 3 年目の各年末に €19 000, €26 500, €30 000 を生みます。内部収益率 IRR をパーセントで求めなさい。

CF₀ = −50 000CF₁ = 19 000CF₂ = 26 500CF₃ = 30 000

IRR = %

3溶液

1.貨幣の時間価値

答え: EAR = 19.72 %

貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)ⁿ のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。

1 期あたりの利率

r/m = 0.18/365 = 0.0004932

1 年分の複利計算

EAR = (1 + 0.0004932)³⁶⁵ − 1 = 1.197 − 1 = 19.72%

答え

EAR = 19.72%

利息が年に複数回複利計算されるとき、EAR は常に名目利率より高くなります。

2.貨幣の時間価値

答え: A = 121.5 €

月利と返済回数

i = 0.03/12 = 0.0025

N = 12·6 = 72

返済額

等額 A の支払い N 回の現在価値は A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i です。これを借入額と等しくおいて A を求めます。

(1 + i)^−N = 0.8355

A = 8 000·0.0025/(1 − 0.8355) = €121.55

答え

A = €121.55

3.債券の価格と利回り

答え: P = 953.9 €

債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。

1 期あたり

C = €10.00, i = 0.015, N = 10

クーポンの現在価値

€10.00·(1 − 0.8617)/0.015 = €92.22

額面の現在価値

€1 000·0.8617 = €861.67

価格

P = €953.89

答え

P = €953.89

利回りがクーポンレートより高いので、債券は額面より安く（アンダーパーで）売られます。

4.債券の価格と利回り

答え: D = 3.726 年

デュレーション：マコーレー・デュレーションは、キャッシュフローの現在価値を重みとした、債券がキャッシュフローを支払う時点の加重平均です：D = Σ t·PVₜ/P。修正デュレーション D/(1 + y) は、利回りがわずかに変化したときの価格変化率を推定します：%ΔP ≈ −D_mod·Δy。

各キャッシュフローの現在価値

t = 1: 45/1.09 = 41.28, t·PV = 41.28

t = 2: 45/1.188 = 37.88, t·PV = 75.75

t = 3: 45/1.295 = 34.75, t·PV = 104.24

t = 4: 1045/1.412 = 740.30, t·PV = 2 961.22

デュレーション

P = 854.21

D = 3 182.50/854.21 = 3.726

答え

D = 3.726 年

5.CAPM と WACC

答え: WACC = 9.25 %

資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。

ウェイト

V = €18 000 000, E/V = 0.6667, D/V = 0.3333

WACC

WACC = 0.6667·12% + 0.3333·5%·(1 − 0.25) = 9.25%

答え

WACC = 9.25%

6.CAPM と WACC

答え: r_e = 5.738 %

レバードベータ（ハマダの式）：負債があると株式のリスクは高まります。β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E) で、β_U は負債のない事業のベータです。ベータを別の資本構成に移すには、まずアンレバーし、次に新しい D/E でリレバーします。

レバードベータ

β_L = 0.9·(1 + 0.79·0.4) = 1.184

株主資本コスト（CAPM）

r_e = 1% + 1.184·4% = 5.738%

答え

r_e = 5.738%

7.NPV と IRR

答え: EAC = 17104 €

等価年間費用：すべての費用の現在価値を、耐用期間にわたる毎年等しい金額（年金）に分けます：EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ)。耐用年数の異なる機械を比較できます。

年金現価係数

(1 − 1.12⁻⁸)/0.12 = 4.968

年換算した購入価格

80 000/4.968 = 16 104.23

EAC

EAC = 16 104.23 + 1 000 = €17 104.23

答え

EAC = €17 104.23

8.NPV と IRR

答え: IRR = 21.88 %

正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。

IRR を挟み込む

利率が上がると NPV は下がるので、IRR は NPV が正の利率と負の利率の間にあります。

NPV(20%) = 1 597.22

NPV(25%) = −2 480.00

絞り込む

線形補間で最初の見積もりが得られます。これを繰り返す（または電卓の IRR 機能を使う）と正確な利率が得られます。

IRR ≈ 20 + 5·1 597.22/(1 597.22 − (−2 480.00)) = 21.96%

正確な値: NPV(21.88%) = 0 → IRR = 21.88%

答え

IRR = 21.88%

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