1公式と解法
貨幣の時間価値
- 将来価値
- FV = PV·(1 + i)n
- 現在価値
- PV = FV/(1 + i)n
- 年に複数の期間
- i = r/m, N = m·n
- 年金現価
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金終価
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
解き方
- すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
- 利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
- 一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
- 答えの符号と桁を確認します。
債券の価格と利回り
- 債券価格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年ごとの利払い
- C/2、y/2、2n 期
- 直接利回り
- C/P
- 価格と利回り
- 利回り上昇 → 価格下落
解き方
- 1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
- 価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
- 半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
- 確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。
CAPM と WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企業価値
- V = E + D
NPV と IRR
- 正味現在価値
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 均等なキャッシュフロー
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部収益率
- NPV = 0 となる r
- 判断
- NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用
解き方
- すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
- 各キャッシュフローを割り引きます：CFt/(1 + r)t。
- それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
- IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。
2演習問題
1.貨幣の時間価値ふつう
名目年利 5%、四半期複利で €5 000 を投資します。10 年後の投資の価値 FV を求めなさい。
PV = €5 0005% / 4n = 10
FV = €
2.貨幣の時間価値むずかしい
13 年後に €100 000 が欲しいとします。年 2.4%、月複利の口座に、毎月末に同じ額を積み立てます。毎月の積立額 A を求めなさい。
FV = €100 0002.4% / 12N = 156
A = €
3.債券の価格と利回りふつう
額面 €1 000 の債券が年 4% のクーポンを支払い、15 年後に満期を迎えます。最終利回りが 3.5% から 2% に変化します。債券価格はどれだけ ΔP 変化しますか？
F = €1 000クーポンレート = 4%n = 15y1 = 3.5%y2 = 2%
ΔP = €
4.債券の価格と利回りむずかしい
額面 €1 000、年クーポン 4% の債券が 3 年後に満期を迎え、€945 で売られています。最終利回り YTM をパーセントで求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 4%n = 3P = €945
YTM = %
5.CAPM と WACCふつう
ある企業は時価 €5 000 000 の株主資本と時価 €4 000 000 の負債をもっています。株主資本コストは 11%、税引前負債コストは 6%、税率は 30% です。WACC を求めなさい。
E = €5 000 000D = €4 000 000re = 11%rd = 6%T = 30%
WACC = %
6.CAPM と WACCむずかしい
ある会社の事業のアンレバードベータ（資産ベータ）は 0.6 です。負債資本比率を 0.5 にする計画です。税率は 30%、無リスク金利は 2.5%、市場リスクプレミアムは 6% です。新しい資本構成での株主資本コスト re を求めなさい。
βU = 0.6D/E = 0.5T = 30%rf = 2.5%rm − rf = 6%
re = %
7.NPV と IRRふつう
あるプロジェクトの費用は今日 €400 000 です。1 年目の末に €22 000 を生み、その後キャッシュフローは永久に年 4% ずつ増加します。資本コストは 9% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。
C0 = €400 000CF1 = €22 000g = 4%r = 9%
NPV = €
8.NPV と IRRむずかしい
あるプロジェクトの費用は今日 €150 000 です。そのキャッシュフローは 1 年目の末に €36 000 で、5 年目の末の最後のキャッシュフローまで年 4% ずつ増加します。資本コストは 12% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。
C0 = €150 000CF1 = €36 000g = 4%n = 5r = 12%
NPV = €
3溶液
1.貨幣の時間価値
答え: FV = 8218 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
利率と期間数
i = r/m = 0.05/4 = 0.0125
N = m·n = 4·10 = 40
将来価値
FV = 5 000·(1 + 0.0125)40 = 5 000·1.644 = €8 218.10
2.貨幣の時間価値
答え: A = 546.9 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
月利と積立回数
i = 0.024/12 = 0.002
N = 12·13 = 156
積立額
A = FV·i/((1 + i)N − 1) = 100 000·0.002/(1.366 − 1) = €546.85
3.債券の価格と利回り
答え: ΔP = 199.4 €
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
元の利回りでの価格
C = €40.00, i = 0.035, N = 15
€40.00·(1 − 0.5969)/0.035 + €1 000·0.5969 = €460.70 + €596.89 = €1 057.59
新しい利回りでの価格
C = €40.00, i = 0.02, N = 15
€40.00·(1 − 0.743)/0.02 + €1 000·0.743 = €513.97 + €743.01 = €1 256.99
変化
ΔP = 1 256.99 − 1 057.59 = €199.40
4.債券の価格と利回り
答え: YTM = 6.06 %
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
利回りの方程式
€945 = €40·(1 − (1 + y)⁻³)/y + €1 000/(1 + y)³
数値的に解く
P(6%) = €946.54, P(7%) = €921.27
YTM = 6.06%
5.CAPM と WACC
答え: WACC = 7.978 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
ウェイト
V = €9 000 000, E/V = 0.5556, D/V = 0.4444
WACC
WACC = 0.5556·11% + 0.4444·6%·(1 − 0.3) = 7.978%
6.CAPM と WACC
答え: re = 7.36 %
レバードベータ（ハマダの式）：負債があると株式のリスクは高まります。βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E) で、βU は負債のない事業のベータです。ベータを別の資本構成に移すには、まずアンレバーし、次に新しい D/E でリレバーします。
レバードベータ
βL = 0.6·(1 + 0.7·0.5) = 0.81
株主資本コスト（CAPM）
re = 2.5% + 0.81·6% = 7.36%
7.NPV と IRR
答え: NPV = 40000 €
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
キャッシュフローの価値
PV = 22 000/(0.09 − 0.04) = 440 000.00
NPV
NPV = 440 000.00 − 400 000 = €40 000.00
NPV は正なので、このプロジェクトは要求収益率より多く稼ぎます。
8.NPV と IRR
答え: NPV = −10663 €
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
成長型年金の現在価値
((1.04)/(1.12))5 = 0.6904
PV = 36 000/(0.12 − 0.04)·(1 − 0.6904) = 139 337.31
NPV
NPV = 139 337.31 − 150 000 = −€10 662.69
NPV は負なので、このプロジェクトは要求収益率より少なくしか稼ぎません。