1公式と解法
貨幣の時間価値
- 将来価値
- FV = PV·(1 + i)n
- 現在価値
- PV = FV/(1 + i)n
- 年に複数の期間
- i = r/m, N = m·n
- 年金現価
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金終価
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
解き方
- すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
- 利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
- 一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
- 答えの符号と桁を確認します。
債券の価格と利回り
- 債券価格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年ごとの利払い
- C/2、y/2、2n 期
- 直接利回り
- C/P
- 価格と利回り
- 利回り上昇 → 価格下落
解き方
- 1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
- 価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
- 半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
- 確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。
CAPM と WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企業価値
- V = E + D
NPV と IRR
- 正味現在価値
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 均等なキャッシュフロー
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部収益率
- NPV = 0 となる r
- 判断
- NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用
解き方
- すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
- 各キャッシュフローを割り引きます：CFt/(1 + r)t。
- それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
- IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。
2演習問題
1.貨幣の時間価値ふつう
クレジットカードの名目年利は 16%、月複利です。実効年利率 EAR をパーセントで求めなさい。
r = 16%m = 12
EAR = %
2.貨幣の時間価値むずかしい
年 3.6%、月複利で €8 000 を借り、毎月末に €125 を返済します。ローンを完済するまでに何か月かかりますか（最後の返済額は少なくてもよい）？返済回数 N を答えなさい。
P = €8 000A = €1253.6% / 12
N = 回
3.債券の価格と利回りふつう
最終利回りが 3% のときに、残存期間 8 年の債券（額面 €1 000、年間クーポン 4.5%）を購入します。1 年後、最初のクーポンを受け取った直後に、最終利回りが 2% のときに売却します。保有期間利回り HPR をパーセントで求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 4.5%n = 8y0 = 3%y1 = 2%
HPR = %
4.債券の価格と利回りむずかしい
ある債券が €985 で取引され、最終利回りは 7%（年複利）、マコーレー・デュレーションは 10.3 年です。利回りが 75 ベーシスポイント上昇した場合の新しい価格 P を、修正デュレーションを使って推定しなさい。
P0 = €985y = 7%D = 10.3Δy = +75 bp
P = €
5.CAPM と WACCふつう
ある企業は時価 €10 000 000 の株主資本と時価 €3 000 000 の負債をもっています。株主資本コストは 14%、税引前負債コストは 5%、税率は 30% です。WACC を求めなさい。
E = €10 000 000D = €3 000 000re = 14%rd = 5%T = 30%
WACC = %
6.CAPM と WACCむずかしい
ある企業は1 株 €19.50 の株式 5 000 000 株と、1 口 €1 050 で取引されている債券 10 000 口をもっています。税引前負債コストは 4.5%、税率は 21% です。株式のベータは 1.8、無リスク金利は 3%、市場収益率は 7% です。WACC を求めなさい。
β = 1.8rf = 3%rm = 7%rd = 4.5%T = 21%
WACC = %
7.NPV と IRRふつう
€45 000 の投資が、1 年目から 3 年目の各年末に次のキャッシュフローを生みます：€18 000, €19 000, €21 000。資本コストは 5% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。
r = 5%CF0 = −45 000CF1 = 18 000CF2 = 19 000CF3 = 21 000
NPV = €
8.NPV と IRRむずかしい
あるプロジェクトは €25 000 かかり、1 年目から 3 年目の各年末に €15 500, €9 500, €10 500 を生みます。内部収益率 IRR をパーセントで求めなさい。
CF0 = −25 000CF1 = 15 500CF2 = 9 500CF3 = 10 500
IRR = %
3溶液
1.貨幣の時間価値
答え: EAR = 17.23 %
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
1 年分の複利計算
EAR = (1 + 0.01333)12 − 1 = 1.172 − 1 = 17.23%
利息が年に複数回複利計算されるとき、EAR は常に名目利率より高くなります。
2.貨幣の時間価値
答え: N = 72 回
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
年金の公式を変形する
i = 0.003
(1 + i)−N = 1 − 8 000·0.003/125 = 0.808
対数を使って解く
N = −ln(0.808)/ln(1.003) = 71.17
返済回数を整数に切り上げる
71 回の満額返済の後にわずかな残高が残り、最後の少額の返済でそれを完済します。
3.債券の価格と利回り
答え: HPR = 9.183 %
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
購入価格
C = €45.00, i = 0.03, N = 8
€45.00·(1 − 0.7894)/0.03 + €1 000·0.7894 = €315.89 + €789.41 = €1 105.30
売却価格
C = €45.00, i = 0.02, N = 7
€45.00·(1 − 0.8706)/0.02 + €1 000·0.8706 = €291.24 + €870.56 = €1 161.80
保有期間利回り
HPR = (45 + 1 161.80 − 1 105.30)/1 105.30 = 9.183%
4.債券の価格と利回り
答え: P = 913.9 €
デュレーション：マコーレー・デュレーションは、キャッシュフローの現在価値を重みとした、債券がキャッシュフローを支払う時点の加重平均です：D = Σ t·PVₜ/P。修正デュレーション D/(1 + y) は、利回りがわずかに変化したときの価格変化率を推定します：%ΔP ≈ −Dmod·Δy。
推定価格変化
%ΔP ≈ −9.626·(0.0075) = −7.22%
P ≈ 985·(1 − 0.0722) = €913.89
デュレーションは線形の推定です。利回りの変化が大きいと、コンベクシティにより実際の価格は少し高くなります。
5.CAPM と WACC
答え: WACC = 11.58 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
ウェイト
V = €13 000 000, E/V = 0.7692, D/V = 0.2308
WACC
WACC = 0.7692·14% + 0.2308·5%·(1 − 0.3) = 11.58%
6.CAPM と WACC
答え: WACC = 9.554 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
時価
E = 5 000 000·€19.50 = €97 500 000
D = 10 000·€1 050 = €10 500 000
ウェイト
V = €108 000 000, E/V = 0.9028, D/V = 0.09722
WACC
WACC = 0.9028·10.2% + 0.09722·4.5%·(1 − 0.21) = 9.554%
7.NPV と IRR
答え: NPV = 7517 €
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
各キャッシュフローの現在価値
CF0 = −45 000
CF1/(1 + 0.05)1 = 18 000/1.05 = 17 142.86
CF2/(1 + 0.05)2 = 19 000/1.103 = 17 233.56
CF3/(1 + 0.05)3 = 21 000/1.158 = 18 140.59
NPV は正なので、このプロジェクトは要求収益率より多く稼ぎます。
8.NPV と IRR
答え: IRR = 21.63 %
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
IRR を挟み込む
利率が上がると NPV は下がるので、IRR は NPV が正の利率と負の利率の間にあります。
NPV(20%) = 590.28
NPV(25%) = −1 144.00
絞り込む
線形補間で最初の見積もりが得られます。これを繰り返す（または電卓の IRR 機能を使う）と正確な利率が得られます。
IRR ≈ 20 + 5·590.28/(590.28 − (−1 144.00)) = 21.7%
正確な値: NPV(21.63%) = 0 → IRR = 21.63%