1公式と解法
貨幣の時間価値
- 将来価値
- FV = PV·(1 + i)n
- 現在価値
- PV = FV/(1 + i)n
- 年に複数の期間
- i = r/m, N = m·n
- 年金現価
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金終価
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
解き方
- すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
- 利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
- 一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
- 答えの符号と桁を確認します。
債券の価格と利回り
- 債券価格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年ごとの利払い
- C/2、y/2、2n 期
- 直接利回り
- C/P
- 価格と利回り
- 利回り上昇 → 価格下落
解き方
- 1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
- 価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
- 半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
- 確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。
CAPM と WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企業価値
- V = E + D
NPV と IRR
- 正味現在価値
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 均等なキャッシュフロー
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部収益率
- NPV = 0 となる r
- 判断
- NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用
解き方
- すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
- 各キャッシュフローを割り引きます：CFt/(1 + r)t。
- それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
- IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。
2演習問題
1.貨幣の時間価値ふつう
年金が毎年末に €3 000 を 8 年間支払います。利率は年 10% です。この年金の現在価値 PV を求めなさい。
A = €3 000i = 10%n = 8
PV = €
2.貨幣の時間価値むずかしい
年 3.6%、月複利で €5 000 を借り、毎月末に €75 を返済します。ローンを完済するまでに何か月かかりますか（最後の返済額は少なくてもよい）？返済回数 N を答えなさい。
P = €5 000A = €753.6% / 12
N = 回
3.債券の価格と利回りふつう
額面 €1 000 の債券が、年 4% のクーポンを年 2 回に分けて半年ごとに支払い、6 年後に満期を迎えます。最終利回りは年 2.5% です。 この債券の価格 P を求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 4%YTM = 2.5%n = 6
P = €
4.債券の価格と利回りむずかしい
額面 €1 000、年クーポン 8% の債券が 9 年後に満期を迎え、€885 で売られています。最終利回り YTM をパーセントで求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 8%n = 9P = €885
YTM = %
5.CAPM と WACCふつう
ベータ 0.6 の株式の要求収益率は 4.5% です。無リスク金利は 1.5% です。CAPM から導かれる市場の期待収益率 rm はいくらですか？
β = 0.6re = 4.5%rf = 1.5%
rm = %
6.CAPM と WACCむずかしい
ある会社の株式は 4 000 000 株で、€41.50 で取引されています。株主資本の簿価は €83 000 000 です。1 株あたり €2.10 の配当を支払ったところで、配当は年 4% 成長します。負債の時価は €132 800 000、税引前コストは 6% です。税率は 28% です。株主資本コストに配当成長モデルを使って、WACC を求めなさい。
N = 4 000 000P0 = €41.50株主資本の簿価 = €83 000 000D0 = €2.10g = 4%D = €132 800 000rd = 6%T = 28%
WACC = %
7.NPV と IRRふつう
€30 000 の投資が、1 年目から 4 年目の各年末に次のキャッシュフローを生みます：€7 000, €7 000, €9 000, €10 000。資本コストは 15% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。
r = 15%CF0 = −30 000CF1 = 7 000CF2 = 7 000CF3 = 9 000CF4 = 10 000
NPV = €
8.NPV と IRRむずかしい
あるプロジェクトの費用は今日 €50 000 です。そのキャッシュフローは 1 年目の末に €4 500 で、10 年目の末の最後のキャッシュフローまで年 5% ずつ増加します。資本コストは 8% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。
C0 = €50 000CF1 = €4 500g = 5%n = 10r = 8%
NPV = €
3溶液
1.貨幣の時間価値
答え: PV = 16005 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
年金現価係数
(1 − (1 + i)−n)/i = (1 − 0.4665)/0.1 = 5.335
現在価値
PV = 3 000·5.335 = €16 004.78
2.貨幣の時間価値
答え: N = 75 回
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
年金の公式を変形する
i = 0.003
(1 + i)−N = 1 − 5 000·0.003/75 = 0.8
対数を使って解く
N = −ln(0.8)/ln(1.003) = 74.49
返済回数を整数に切り上げる
74 回の満額返済の後にわずかな残高が残り、最後の少額の返済でそれを完済します。
3.債券の価格と利回り
答え: P = 1083 €
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
1 期あたり
C = €20.00, i = 0.0125, N = 12
クーポンの現在価値
€20.00·(1 − 0.8615)/0.0125 = €221.59
利回りがクーポンレートより低いので、債券は額面より高く（オーバーパーで）売られます。
4.債券の価格と利回り
答え: YTM = 9.997 %
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
利回りの方程式
€885 = €80·(1 − (1 + y)⁻⁹)/y + €1 000/(1 + y)⁹
数値的に解く
P(9%) = €940.05, P(10%) = €884.82
YTM = 9.997%
5.CAPM と WACC
答え: rm = 6.5 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
市場リスクプレミアム
rm − rf = (4.5% − 1.5%)/0.6 = 5%
6.CAPM と WACC
答え: WACC = 7.066 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
株主資本コスト
D1 = 2.1·1.04 = €2.18
re = 2.184/41.5 + 0.04 = 9.263%
時価
E = 4 000 000·€41.50 = €166 000 000
V = €298 800 000, E/V = 0.5556, D/V = 0.4444
WACC
WACC = 0.5556·9.263% + 0.4444·6%·(1 − 0.28) = 7.066%
7.NPV と IRR
答え: NPV = −6985 €
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
各キャッシュフローの現在価値
CF0 = −30 000
CF1/(1 + 0.15)1 = 7 000/1.15 = 6 086.96
CF2/(1 + 0.15)2 = 7 000/1.322 = 5 293.01
CF3/(1 + 0.15)3 = 9 000/1.521 = 5 917.65
CF4/(1 + 0.15)4 = 10 000/1.749 = 5 717.53
NPV は負なので、このプロジェクトは要求収益率より少なくしか稼ぎません。
8.NPV と IRR
答え: NPV = −13174 €
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
成長型年金の現在価値
((1.05)/(1.08))10 = 0.7545
PV = 4 500/(0.08 − 0.05)·(1 − 0.7545) = 36 825.99
NPV
NPV = 36 825.99 − 50 000 = −€13 174.01
NPV は負なので、このプロジェクトは要求収益率より少なくしか稼ぎません。