1公式と解法
貨幣の時間価値
- 将来価値
- FV = PV·(1 + i)n
- 現在価値
- PV = FV/(1 + i)n
- 年に複数の期間
- i = r/m, N = m·n
- 年金現価
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金終価
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
解き方
- すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
- 利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
- 一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
- 答えの符号と桁を確認します。
債券の価格と利回り
- 債券価格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年ごとの利払い
- C/2、y/2、2n 期
- 直接利回り
- C/P
- 価格と利回り
- 利回り上昇 → 価格下落
解き方
- 1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
- 価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
- 半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
- 確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。
CAPM と WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企業価値
- V = E + D
NPV と IRR
- 正味現在価値
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 均等なキャッシュフロー
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部収益率
- NPV = 0 となる r
- 判断
- NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用
解き方
- すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
- 各キャッシュフローを割り引きます：CFt/(1 + r)t。
- それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
- IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。
2演習問題
1.貨幣の時間価値ふつう
名目年利 5%、四半期複利で €3 000 を投資します。4 年後の投資の価値 FV を求めなさい。
PV = €3 0005% / 4n = 4
FV = €
2.貨幣の時間価値むずかしい
€20 000 のローンを 3 年間、毎月の元利均等払いで返済します。金利は年 7.2%、月複利です。毎月の返済額 A を求めなさい。
P = €20 0007.2% / 12N = 36
A = €
3.債券の価格と利回りふつう
額面 €1 000 の債券が年 6% のクーポンを支払い、4 年後に満期を迎えます。最終利回りが 8% から 9% に変化します。債券価格はどれだけ ΔP 変化しますか？
F = €1 000クーポンレート = 6%n = 4y1 = 8%y2 = 9%
ΔP = €
4.債券の価格と利回りむずかしい
額面 €1 000 の債券が年 4% のクーポンを半年ごとの 2 回に分けて支払い、5 年後に満期を迎えます。価格は €838 です。最終利回り YTM を年率（半年利回りの 2 倍）としてパーセントで求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 4% (2×)n = 5P = €838
YTM = %
5.CAPM と WACCふつう
ある企業は時価 €6 000 000 の株主資本と時価 €5 000 000 の負債をもっています。株主資本コストは 9%、税引前負債コストは 4%、税率は 25.8% です。WACC を求めなさい。
E = €6 000 000D = €5 000 000re = 9%rd = 4%T = 25.8%
WACC = %
6.CAPM と WACCむずかしい
ある会社の株式は 4 000 000 株で、€33.50 で取引されています。株主資本の簿価は €40 200 000 です。1 株あたり €1.10 の配当を支払ったところで、配当は年 3% 成長します。負債の時価は €107 200 000、税引前コストは 6% です。税率は 30% です。株主資本コストに配当成長モデルを使って、WACC を求めなさい。
N = 4 000 000P0 = €33.50株主資本の簿価 = €40 200 000D0 = €1.10g = 3%D = €107 200 000rd = 6%T = 30%
WACC = %
7.NPV と IRRふつう
€75 000 の投資が、1 年目から 4 年目の各年末に次のキャッシュフローを生みます：€16 000, €18 000, €33 000, €21 000。資本コストは 6% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。
r = 6%CF0 = −75 000CF1 = 16 000CF2 = 18 000CF3 = 33 000CF4 = 21 000
NPV = €
8.NPV と IRRむずかしい
あるプロジェクトは €50 000 かかり、1 年目から 2 年目の各年末に €37 500, €20 500 を生みます。内部収益率 IRR をパーセントで求めなさい。
CF0 = −50 000CF1 = 37 500CF2 = 20 500
IRR = %
3溶液
1.貨幣の時間価値
答え: FV = 3660 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
利率と期間数
i = r/m = 0.05/4 = 0.0125
N = m·n = 4·4 = 16
将来価値
FV = 3 000·(1 + 0.0125)16 = 3 000·1.22 = €3 659.67
2.貨幣の時間価値
答え: A = 619.4 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
月利と返済回数
i = 0.07200000000000001/12 = 0.006
N = 12·3 = 36
返済額
等額 A の支払い N 回の現在価値は A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i です。これを借入額と等しくおいて A を求めます。
(1 + i)−N = 0.8063
A = 20 000·0.006/(1 − 0.8063) = €619.37
3.債券の価格と利回り
答え: ΔP = −30.95 €
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
元の利回りでの価格
C = €60.00, i = 0.08, N = 4
€60.00·(1 − 0.735)/0.08 + €1 000·0.735 = €198.73 + €735.03 = €933.76
新しい利回りでの価格
C = €60.00, i = 0.09, N = 4
€60.00·(1 − 0.7084)/0.09 + €1 000·0.7084 = €194.38 + €708.43 = €902.81
変化
ΔP = 902.81 − 933.76 = −€30.95
4.債券の価格と利回り
答え: YTM = 7.994 %
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
5.CAPM と WACC
答え: WACC = 6.258 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
ウェイト
V = €11 000 000, E/V = 0.5455, D/V = 0.4545
WACC
WACC = 0.5455·9% + 0.4545·4%·(1 − 0.258) = 6.258%
6.CAPM と WACC
答え: WACC = 5.412 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
株主資本コスト
D1 = 1.1·1.03 = €1.13
re = 1.133/33.5 + 0.03 = 6.382%
時価
E = 4 000 000·€33.50 = €134 000 000
V = €241 200 000, E/V = 0.5556, D/V = 0.4444
WACC
WACC = 0.5556·6.382% + 0.4444·6%·(1 − 0.3) = 5.412%
7.NPV と IRR
答え: NPV = 455.7 €
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
各キャッシュフローの現在価値
CF0 = −75 000
CF1/(1 + 0.06)1 = 16 000/1.06 = 15 094.34
CF2/(1 + 0.06)2 = 18 000/1.124 = 16 019.94
CF3/(1 + 0.06)3 = 33 000/1.191 = 27 707.44
CF4/(1 + 0.06)4 = 21 000/1.262 = 16 633.97
NPV は正なので、このプロジェクトは要求収益率より多く稼ぎます。
8.NPV と IRR
答え: IRR = 11.7 %
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
IRR を挟み込む
利率が上がると NPV は下がるので、IRR は NPV が正の利率と負の利率の間にあります。
NPV(10%) = 1 033.06
NPV(15%) = −1 890.36
絞り込む
線形補間で最初の見積もりが得られます。これを繰り返す（または電卓の IRR 機能を使う）と正確な利率が得られます。
IRR ≈ 10 + 5·1 033.06/(1 033.06 − (−1 890.36)) = 11.77%
正確な値: NPV(11.7%) = 0 → IRR = 11.7%