1公式と解法
貨幣の時間価値
- 将来価値
- FV = PV·(1 + i)n
- 現在価値
- PV = FV/(1 + i)n
- 年に複数の期間
- i = r/m, N = m·n
- 年金現価
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金終価
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
解き方
- すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
- 利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
- 一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
- 答えの符号と桁を確認します。
債券の価格と利回り
- 債券価格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年ごとの利払い
- C/2、y/2、2n 期
- 直接利回り
- C/P
- 価格と利回り
- 利回り上昇 → 価格下落
解き方
- 1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
- 価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
- 半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
- 確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。
CAPM と WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企業価値
- V = E + D
NPV と IRR
- 正味現在価値
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 均等なキャッシュフロー
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部収益率
- NPV = 0 となる r
- 判断
- NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用
解き方
- すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
- 各キャッシュフローを割り引きます：CFt/(1 + r)t。
- それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
- IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。
2演習問題
1.貨幣の時間価値ふつう
ある不動産は来年 €12 000 の純賃料を生むと見込まれています。賃料は永久に年 4% ずつ増加すると見込まれています。要求収益率は年 9% です。この不動産の今日の価値 PV を求めなさい。
C1 = €12 000g = 4%r = 9%
PV = €
2.貨幣の時間価値むずかしい
29 年間、毎年初めに €5 000 を預け入れます。最初の預け入れは今日です。口座の利率は年 3% です。29 年目の末に口座にはいくらありますか？FV を求めなさい。
A = €5 000i = 3%n = 29
FV = €
3.債券の価格と利回りふつう
最終利回りが 8% のときに、残存期間 3 年の債券（額面 €1 000、年間クーポン 2%）を購入します。1 年後、最初のクーポンを受け取った直後に、最終利回りが 8.5% のときに売却します。保有期間利回り HPR をパーセントで求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 2%n = 3y0 = 8%y1 = 8.5%
HPR = %
4.債券の価格と利回りむずかしい
額面 €1 000 の債券が年 6% のクーポンを半年ごとの 2 回に分けて支払い、7 年後に満期を迎えます。価格は €847 です。最終利回り YTM を年率（半年利回りの 2 倍）としてパーセントで求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 6% (2×)n = 7P = €847
YTM = %
5.CAPM と WACCふつう
ベータ 1.4 の株式の要求収益率は 11.3% です。無リスク金利は 1.5% です。CAPM から導かれる市場の期待収益率 rm はいくらですか？
β = 1.4re = 11.3%rf = 1.5%
rm = %
6.CAPM と WACCむずかしい
ある会社の株式は 5 000 000 株で、€57.00 で取引されています。株主資本の簿価は €85 500 000 です。1 株あたり €2.30 の配当を支払ったところで、配当は年 4% 成長します。負債の時価は €228 000 000、税引前コストは 4.5% です。税率は 30% です。株主資本コストに配当成長モデルを使って、WACC を求めなさい。
N = 5 000 000P0 = €57.00株主資本の簿価 = €85 500 000D0 = €2.30g = 4%D = €228 000 000rd = 4.5%T = 30%
WACC = %
7.NPV と IRRふつう
€30 000 の投資が、1 年目から 3 年目の各年末に次のキャッシュフローを生みます：€11 000, €8 000, €9 000。資本コストは 5% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。
r = 5%CF0 = −30 000CF1 = 11 000CF2 = 8 000CF3 = 9 000
NPV = €
8.NPV と IRRむずかしい
あるプロジェクトの費用は €10 000 で、1 年目から 4 年目の各年末に €5 000, €4 000, €5 500, €4 500 を生みます。キャッシュフローは資本コスト 6% で再投資できます。修正内部収益率 MIRR をパーセントで求めなさい。
r = 6%CF0 = −10 000CF1 = 5 000CF2 = 4 000CF3 = 5 500CF4 = 4 500
MIRR = %
3溶液
1.貨幣の時間価値
答え: PV = 240000 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
成長型永久年金
PV = C1/(r − g) = 12 000/(0.09 − 0.04) = 12 000/0.05 = €240 000.00
2.貨幣の時間価値
答え: FV = 232877 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
通常の年金係数
((1 + 0.03)29 − 1)/0.03 = 45.22
期首払い年金
各預け入れは 1 年長く運用されます。
FV = 5 000·45.22·1.03 = €232 877.08
3.債券の価格と利回り
答え: HPR = 7.039 %
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
購入価格
C = €20.00, i = 0.08, N = 3
€20.00·(1 − 0.7938)/0.08 + €1 000·0.7938 = €51.54 + €793.83 = €845.37
売却価格
C = €20.00, i = 0.085, N = 2
€20.00·(1 − 0.8495)/0.085 + €1 000·0.8495 = €35.42 + €849.46 = €884.88
保有期間利回り
HPR = (20 + 884.88 − 845.37)/845.37 = 7.039%
4.債券の価格と利回り
答え: YTM = 8.993 %
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
5.CAPM と WACC
答え: rm = 8.5 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
市場リスクプレミアム
rm − rf = (11.3% − 1.5%)/1.4 = 7%
6.CAPM と WACC
答え: WACC = 5.954 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
株主資本コスト
D1 = 2.3·1.04 = €2.39
re = 2.392/57 + 0.04 = 8.196%
時価
E = 5 000 000·€57.00 = €285 000 000
V = €513 000 000, E/V = 0.5556, D/V = 0.4444
WACC
WACC = 0.5556·8.196% + 0.4444·4.5%·(1 − 0.3) = 5.954%
7.NPV と IRR
答え: NPV = −4493 €
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
各キャッシュフローの現在価値
CF0 = −30 000
CF1/(1 + 0.05)1 = 11 000/1.05 = 10 476.19
CF2/(1 + 0.05)2 = 8 000/1.103 = 7 256.24
CF3/(1 + 0.05)3 = 9 000/1.158 = 7 774.54
NPV は負なので、このプロジェクトは要求収益率より少なくしか稼ぎません。
8.NPV と IRR
答え: MIRR = 20.06 %
修正 IRR：各流入を再投資利率（通常は資本コスト）でプロジェクトの終わりまで複利計算し、終価 TV を求めます。MIRR は初期投資を TV に変える利率です：MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1。
流入の終価
5 000·1.063 = 5 955.08
4 000·1.062 = 4 494.40
5 500·1.061 = 5 830.00
4 500·1.060 = 4 500.00
TV = 20 779.48
MIRR
MIRR = (20 779.48/10 000)1/4 − 1 = 20.06%