1公式と解法
貨幣の時間価値
- 将来価値
- FV = PV·(1 + i)n
- 現在価値
- PV = FV/(1 + i)n
- 年に複数の期間
- i = r/m, N = m·n
- 年金現価
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金終価
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
解き方
- すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
- 利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
- 一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
- 答えの符号と桁を確認します。
債券の価格と利回り
- 債券価格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年ごとの利払い
- C/2、y/2、2n 期
- 直接利回り
- C/P
- 価格と利回り
- 利回り上昇 → 価格下落
解き方
- 1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
- 価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
- 半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
- 確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。
CAPM と WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企業価値
- V = E + D
NPV と IRR
- 正味現在価値
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 均等なキャッシュフロー
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部収益率
- NPV = 0 となる r
- 判断
- NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用
解き方
- すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
- 各キャッシュフローを割り引きます：CFt/(1 + r)t。
- それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
- IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。
2演習問題
1.貨幣の時間価値ふつう
10 年後に €25 000 が必要です。口座の利率は年 5%、四半期複利です。今日いくら預ければよいですか？現在価値 PV を求めなさい。
FV = €25 0005% / 4n = 10
PV = €
2.貨幣の時間価値むずかしい
10 年間、毎月末に €50 を積み立てます。口座の利率は年 7.2%、月複利です。最後にいくら貯まりますか？FV を求めなさい。
A = €507.2% / 12N = 120
FV = €
3.債券の価格と利回りふつう
額面 €1 000 の債券が、年 2% のクーポンを年 2 回に分けて半年ごとに支払い、4 年後に満期を迎えます。最終利回りは年 9% です。 この債券の価格 P を求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 2%YTM = 9%n = 4
P = €
4.債券の価格と利回りむずかしい
額面 €1 000、年クーポン 7% の債券が 7 年後に満期を迎え、€925 で売られています。最終利回り YTM をパーセントで求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 7%n = 7P = €925
YTM = %
5.CAPM と WACCふつう
ある会社の株主資本の価値は €6 000 000、負債の価値は €4 000 000 です。WACC は 5.66%、税引前負債コストは 3%、税率は 28% です。株主資本コスト re を求めなさい。
E = €6 000 000D = €4 000 000WACC = 5.66%rd = 3%T = 28%
re = %
6.CAPM と WACCむずかしい
ある会社の事業のアンレバードベータ（資産ベータ）は 1 です。負債資本比率を 0.5 にする計画です。税率は 30%、無リスク金利は 2%、市場リスクプレミアムは 5% です。新しい資本構成での株主資本コスト re を求めなさい。
βU = 1D/E = 0.5T = 30%rf = 2%rm − rf = 5%
re = %
7.NPV と IRRふつう
あるプロジェクトの費用は今日 €20 000 で、1 年目から 5 年目の各年末に €7 000, €6 500, €8 000, €6 500, €6 500 を生みます。資本コストは 8% です。キャッシュフローは各年の間に均等に入ると仮定します。割引回収期間 DPB を年で求めなさい。
r = 8%CF0 = −20 000CF1 = 7 000CF2 = 6 500CF3 = 8 000CF4 = 6 500CF5 = 6 500
DPB = 年
8.NPV と IRRむずかしい
あるプロジェクトの費用は €40 000 で、1 年目から 4 年目の各年末に €21 000, €23 500, €16 000, €21 000 を生みます。キャッシュフローは資本コスト 8% で再投資できます。修正内部収益率 MIRR をパーセントで求めなさい。
r = 8%CF0 = −40 000CF1 = 21 000CF2 = 23 500CF3 = 16 000CF4 = 21 000
MIRR = %
3溶液
1.貨幣の時間価値
答え: PV = 15210 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
利率と期間数
i = 0.05/4 = 0.0125
N = 4·10 = 40
現在価値
PV = FV/(1 + i)N = 25 000/1.644 = €15 210.33
2.貨幣の時間価値
答え: FV = 8750 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
月利と積立回数
i = 0.07200000000000001/12 = 0.006
N = 12·10 = 120
積立金の将来価値
FV = A·((1 + i)N − 1)/i = 50·(2.05 − 1)/0.006 = €8 750.15
自分で払い込んだのは €6 000。残りは利息です。
3.債券の価格と利回り
答え: P = 769.1 €
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
1 期あたり
C = €10.00, i = 0.045, N = 8
クーポンの現在価値
€10.00·(1 − 0.7032)/0.045 = €65.96
利回りがクーポンレートより高いので、債券は額面より安く（アンダーパーで）売られます。
4.債券の価格と利回り
答え: YTM = 8.463 %
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
利回りの方程式
€925 = €70·(1 − (1 + y)⁻⁷)/y + €1 000/(1 + y)⁷
数値的に解く
P(8%) = €947.94, P(9%) = €899.34
YTM = 8.463%
5.CAPM と WACC
答え: re = 7.993 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
ウェイト
V = €10 000 000, E/V = 0.6, D/V = 0.4
WACC の負債の部分
0.4·3%·(1 − 0.28) = 0.864%
株主資本コスト
re = (5.66% − 0.864%)/0.6 = 7.993%
6.CAPM と WACC
答え: re = 8.75 %
レバードベータ（ハマダの式）：負債があると株式のリスクは高まります。βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E) で、βU は負債のない事業のベータです。ベータを別の資本構成に移すには、まずアンレバーし、次に新しい D/E でリレバーします。
レバードベータ
βL = 1·(1 + 0.7·0.5) = 1.35
株主資本コスト（CAPM）
re = 2% + 1.35·5% = 8.75%
7.NPV と IRR
答え: DPB = 3.334 年
回収期間：累積キャッシュフローが初期投資を回収するまでの時間です。現金は各年の間に均等に入ると仮定するので、最後の部分は 1 年の端数になります。単純回収期間は貨幣の時間価値を無視します。割引回収期間では、代わりに割り引いたキャッシュフローを使います。
割引キャッシュフローと累積キャッシュフロー
年度 1: 7 000/1.08 = 6 481.48 → Σ = 6 481.48
年度 2: 6 500/1.166 = 5 572.70 → Σ = 12 054.18
年度 3: 8 000/1.26 = 6 350.66 → Σ = 18 404.84
年度 4: 6 500/1.36 = 4 777.69 → Σ = 23 182.54
最後の年の端数
DPB = 3 + 1 595.16/4 777.69 = 3.334
割引回収期間は、常に単純回収期間（2.813 年）より長くなります。
8.NPV と IRR
答え: MIRR = 23.2 %
修正 IRR：各流入を再投資利率（通常は資本コスト）でプロジェクトの終わりまで複利計算し、終価 TV を求めます。MIRR は初期投資を TV に変える利率です：MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1。
流入の終価
21 000·1.083 = 26 453.95
23 500·1.082 = 27 410.40
16 000·1.081 = 17 280.00
21 000·1.080 = 21 000.00
TV = 92 144.35
MIRR
MIRR = (92 144.35/40 000)1/4 − 1 = 23.2%