投資と企業価値評価：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

貨幣の時間価値

将来価値: FV = PV·(1 + i)ⁿ
現在価値: PV = FV/(1 + i)ⁿ
年に複数の期間: i = r/m, N = m·n
年金現価: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金終価: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

解き方

すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
答えの符号と桁を確認します。

債券の価格と利回り

債券価格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年ごとの利払い: C/2、y/2、2n 期
直接利回り: C/P
価格と利回り: 利回り上昇 → 価格下落

解き方

1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。

CAPM と WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企業価値: V = E + D

NPV と IRR

正味現在価値: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
均等なキャッシュフロー: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部収益率: NPV = 0 となる r
判断: NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用

解き方

すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
各キャッシュフローを割り引きます：CF_t/(1 + r)^t。
それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。

2演習問題

1.貨幣の時間価値ふつう

名目年利 4%、四半期複利で €1 000 を投資します。3 年後の投資の価値 FV を求めなさい。

PV = €1 0004% / 4n = 3

FV = €

2.貨幣の時間価値むずかしい

€15 000 のローンを 3 年間、毎月の元利均等払いで返済します。金利は年 7.2%、月複利です。毎月の返済額 A を求めなさい。

P = €15 0007.2% / 12N = 36

A = €

3.債券の価格と利回りふつう

額面 €1 000 の債券が、年 4.5% のクーポンを年 2 回に分けて半年ごとに支払い、9 年後に満期を迎えます。最終利回りは年 6% です。この債券の価格 P を求めなさい。

F = €1 000クーポンレート = 4.5%YTM = 6%n = 9

P = €

4.債券の価格と利回りむずかしい

額面 €1 000、年クーポン 5% の債券が 5 年後に満期を迎え、€1 070 で売られています。最終利回り YTM をパーセントで求めなさい。

F = €1 000クーポンレート = 5%n = 5P = €1 070

YTM = %

5.CAPM と WACCふつう

ベータ 1.25 の株式の要求収益率は 11.13% です。無リスク金利は 3% です。CAPM から導かれる市場の期待収益率 r_m はいくらですか？

β = 1.25r_e = 11.13%r_f = 3%

r_m = %

6.CAPM と WACCむずかしい

ある企業は1 株 €48.00 の株式 4 000 000 株と、1 口 €960 で取引されている債券 20 000 口をもっています。税引前負債コストは 4%、税率は 25.8% です。株式のベータは 1.5、無リスク金利は 3.5%、市場収益率は 10.5% です。WACC を求めなさい。

β = 1.5r_f = 3.5%r_m = 10.5%r_d = 4%T = 25.8%

WACC = %

7.NPV と IRRふつう

€75 000 の投資が、1 年目から 4 年目の各年末に次のキャッシュフローを生みます：€28 000, €35 000, €17 000, €35 000。資本コストは 12% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。

r = 12%CF₀ = −75 000CF₁ = 28 000CF₂ = 35 000CF₃ = 17 000CF₄ = 35 000

NPV = €

8.NPV と IRRむずかしい

あるプロジェクトは €40 000 かかり、1 年目から 3 年目の各年末に €15 000, €18 000, €17 500 を生みます。内部収益率 IRR をパーセントで求めなさい。

CF₀ = −40 000CF₁ = 15 000CF₂ = 18 000CF₃ = 17 500

IRR = %

3溶液

1.貨幣の時間価値

答え: FV = 1127 €

貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)ⁿ のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。

利率と期間数

i = r/m = 0.04/4 = 0.01

N = m·n = 4·3 = 12

将来価値

FV = 1 000·(1 + 0.01)¹² = 1 000·1.127 = €1 126.83

答え

FV = €1 126.83

2.貨幣の時間価値

答え: A = 464.5 €

月利と返済回数

i = 0.07200000000000001/12 = 0.006

N = 12·3 = 36

返済額

等額 A の支払い N 回の現在価値は A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i です。これを借入額と等しくおいて A を求めます。

(1 + i)^−N = 0.8063

A = 15 000·0.006/(1 − 0.8063) = €464.53

答え

A = €464.53

3.債券の価格と利回り

答え: P = 896.8 €

債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。

1 期あたり

C = €22.50, i = 0.03, N = 18

クーポンの現在価値

€22.50·(1 − 0.5874)/0.03 = €309.45

額面の現在価値

€1 000·0.5874 = €587.39

価格

P = €896.85

答え

P = €896.85

利回りがクーポンレートより高いので、債券は額面より安く（アンダーパーで）売られます。

4.債券の価格と利回り

答え: YTM = 3.452 %

利回りの方程式

€1 070 = €50·(1 − (1 + y)⁻⁵)/y + €1 000/(1 + y)⁵

数値的に解く

P(3%) = €1 091.59, P(4%) = €1 044.52

YTM = 3.452%

答え

YTM = 3.452%

5.CAPM と WACC

答え: r_m = 9.504 %

資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。

市場リスクプレミアム

r_m − r_f = (11.13% − 3%)/1.25 = 6.504%

市場収益率

r_m = 3% + 6.504% = 9.504%

答え

r_m = 9.504%

6.CAPM と WACC

答え: WACC = 13 %

時価

E = 4 000 000·€48.00 = €192 000 000

D = 20 000·€960 = €19 200 000

株主資本コスト（CAPM）

r_e = 3.5% + 1.5·7% = 14%

ウェイト

V = €211 200 000, E/V = 0.9091, D/V = 0.09091

WACC

WACC = 0.9091·14% + 0.09091·4%·(1 − 0.258) = 13%

答え

WACC = 13%

7.NPV と IRR

答え: NPV = 12245 €

正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。

各キャッシュフローの現在価値

CF₀ = −75 000

CF₁/(1 + 0.12)¹ = 28 000/1.12 = 25 000.00

CF₂/(1 + 0.12)² = 35 000/1.254 = 27 901.79

CF₃/(1 + 0.12)³ = 17 000/1.405 = 12 100.26

CF₄/(1 + 0.12)⁴ = 35 000/1.574 = 22 243.13

合計する

NPV = €12 245.18

答え

NPV = €12 245.18

NPV は正なので、このプロジェクトは要求収益率より多く稼ぎます。

8.NPV と IRR

答え: IRR = 12.28 %

IRR を挟み込む

利率が上がると NPV は下がるので、IRR は NPV が正の利率と負の利率の間にあります。

NPV(10%) = 1 660.41

NPV(15%) = −1 839.40

絞り込む

線形補間で最初の見積もりが得られます。これを繰り返す（または電卓の IRR 機能を使う）と正確な利率が得られます。

IRR ≈ 10 + 5·1 660.41/(1 660.41 − (−1 839.40)) = 12.37%

正確な値: NPV(12.28%) = 0 → IRR = 12.28%

答え

IRR = 12.28%

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