1公式と解法
貨幣の時間価値
- 将来価値
- FV = PV·(1 + i)n
- 現在価値
- PV = FV/(1 + i)n
- 年に複数の期間
- i = r/m, N = m·n
- 年金現価
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金終価
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
解き方
- すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
- 利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
- 一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
- 答えの符号と桁を確認します。
債券の価格と利回り
- 債券価格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年ごとの利払い
- C/2、y/2、2n 期
- 直接利回り
- C/P
- 価格と利回り
- 利回り上昇 → 価格下落
解き方
- 1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
- 価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
- 半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
- 確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。
CAPM と WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企業価値
- V = E + D
NPV と IRR
- 正味現在価値
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 均等なキャッシュフロー
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部収益率
- NPV = 0 となる r
- 判断
- NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用
解き方
- すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
- 各キャッシュフローを割り引きます：CFt/(1 + r)t。
- それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
- IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。
2演習問題
1.貨幣の時間価値ふつう
名目年利 3.6%、四半期複利で €5 000 を投資します。5 年後の投資の価値 FV を求めなさい。
PV = €5 0003.6% / 4n = 5
FV = €
2.貨幣の時間価値むずかしい
年 2.4%、月複利で €5 000 を借り、毎月末に €75 を返済します。ローンを完済するまでに何か月かかりますか（最後の返済額は少なくてもよい）？返済回数 N を答えなさい。
P = €5 000A = €752.4% / 12
N = 回
3.債券の価格と利回りふつう
額面 €1 000 の債券が、年 8% のクーポンを年 2 回に分けて半年ごとに支払い、12 年後に満期を迎えます。最終利回りは年 6% です。 この債券の価格 P を求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 8%YTM = 6%n = 12
P = €
4.債券の価格と利回りむずかしい
残存期間 10 年の債券（額面 €1 000、年間クーポン 8%）が €1 070 で売られています。発行者は 3 年後に €1 080 の償還価格で繰上償還できます。繰上償還利回り YTC をパーセントで求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 8%P = €1 070繰上償還価格 = €1 080繰上償還まで 3 年
YTC = %
5.CAPM と WACCふつう
ある企業は時価 €4 000 000 の株主資本と時価 €2 000 000 の負債をもっています。株主資本コストは 10%、税引前負債コストは 7%、税率は 21% です。WACC を求めなさい。
E = €4 000 000D = €2 000 000re = 10%rd = 7%T = 21%
WACC = %
6.CAPM と WACCむずかしい
ある会社の事業のアンレバードベータ（資産ベータ）は 1.2 です。負債資本比率を 0.6 にする計画です。税率は 30%、無リスク金利は 2.5%、市場リスクプレミアムは 7% です。新しい資本構成での株主資本コスト re を求めなさい。
βU = 1.2D/E = 0.6T = 30%rf = 2.5%rm − rf = 7%
re = %
7.NPV と IRRふつう
€60 000 の投資が、1 年目から 3 年目の各年末に次のキャッシュフローを生みます：€20 000, €18 000, €13 000。資本コストは 15% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。
r = 15%CF0 = −60 000CF1 = 20 000CF2 = 18 000CF3 = 13 000
NPV = €
8.NPV と IRRむずかしい
あるプロジェクトは €20 000 かかり、1 年目から 3 年目の各年末に €11 000, €11 500, €11 000 を生みます。内部収益率 IRR をパーセントで求めなさい。
CF0 = −20 000CF1 = 11 000CF2 = 11 500CF3 = 11 000
IRR = %
3溶液
1.貨幣の時間価値
答え: FV = 5981 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
利率と期間数
i = r/m = 0.036000000000000004/4 = 0.009
N = m·n = 4·5 = 20
将来価値
FV = 5 000·(1 + 0.009)20 = 5 000·1.196 = €5 981.27
2.貨幣の時間価値
答え: N = 72 回
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
年金の公式を変形する
i = 0.002
(1 + i)−N = 1 − 5 000·0.002/75 = 0.8667
対数を使って解く
N = −ln(0.8667)/ln(1.002) = 71.62
返済回数を整数に切り上げる
71 回の満額返済の後にわずかな残高が残り、最後の少額の返済でそれを完済します。
3.債券の価格と利回り
答え: P = 1169 €
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
1 期あたり
C = €40.00, i = 0.03, N = 24
クーポンの現在価値
€40.00·(1 − 0.4919)/0.03 = €677.42
利回りがクーポンレートより低いので、債券は額面より高く（オーバーパーで）売られます。
4.債券の価格と利回り
答え: YTC = 7.765 %
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
利回りの方程式
1070 = 80·(1 − (1 + y)−3)/y + 1080/(1 + y)3
数値的に解く
y = 7%: €1 091.55
y = 8%: €1 063.51
YTC = 7.765%
最終利回りは 7.003% です。オーバーパー債券の投資家は繰上償還を予想するので、低い方の繰上償還利回りの方が現実的です。
5.CAPM と WACC
答え: WACC = 8.51 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
ウェイト
V = €6 000 000, E/V = 0.6667, D/V = 0.3333
WACC
WACC = 0.6667·10% + 0.3333·7%·(1 − 0.21) = 8.51%
6.CAPM と WACC
答え: re = 14.43 %
レバードベータ（ハマダの式）：負債があると株式のリスクは高まります。βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E) で、βU は負債のない事業のベータです。ベータを別の資本構成に移すには、まずアンレバーし、次に新しい D/E でリレバーします。
レバードベータ
βL = 1.2·(1 + 0.7·0.6) = 1.704
株主資本コスト（CAPM）
re = 2.5% + 1.704·7% = 14.43%
7.NPV と IRR
答え: NPV = −20450 €
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
各キャッシュフローの現在価値
CF0 = −60 000
CF1/(1 + 0.15)1 = 20 000/1.15 = 17 391.30
CF2/(1 + 0.15)2 = 18 000/1.322 = 13 610.59
CF3/(1 + 0.15)3 = 13 000/1.521 = 8 547.71
NPV は負なので、このプロジェクトは要求収益率より少なくしか稼ぎません。
8.NPV と IRR
答え: IRR = 30.97 %
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
IRR を挟み込む
利率が上がると NPV は下がるので、IRR は NPV が正の利率と負の利率の間にあります。
NPV(30%) = 273.10
NPV(35%) = −1 070.97
絞り込む
線形補間で最初の見積もりが得られます。これを繰り返す（または電卓の IRR 機能を使う）と正確な利率が得られます。
IRR ≈ 30 + 5·273.10/(273.10 − (−1 070.97)) = 31.02%
正確な値: NPV(30.97%) = 0 → IRR = 30.97%