1公式と解法
貨幣の時間価値
- 将来価値
- FV = PV·(1 + i)n
- 現在価値
- PV = FV/(1 + i)n
- 年に複数の期間
- i = r/m, N = m·n
- 年金現価
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金終価
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
解き方
- すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
- 利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
- 一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
- 答えの符号と桁を確認します。
債券の価格と利回り
- 債券価格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年ごとの利払い
- C/2、y/2、2n 期
- 直接利回り
- C/P
- 価格と利回り
- 利回り上昇 → 価格下落
解き方
- 1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
- 価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
- 半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
- 確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。
CAPM と WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企業価値
- V = E + D
NPV と IRR
- 正味現在価値
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 均等なキャッシュフロー
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部収益率
- NPV = 0 となる r
- 判断
- NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用
解き方
- すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
- 各キャッシュフローを割り引きます：CFt/(1 + r)t。
- それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
- IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。
2演習問題
1.貨幣の時間価値ふつう
名目年利 4%、四半期複利で €2 000 を投資します。10 年後の投資の価値 FV を求めなさい。
PV = €2 0004% / 4n = 10
FV = €
2.貨幣の時間価値むずかしい
€200 000 の住宅ローンを、年 3%、月複利で 30 年間の元利均等の月払いで返済します。7 年目の末の支払い直後に、まだいくら残っていますか？残高 B を求めなさい。
P = €200 0003% / 12N = 360k = 84
B = €
3.債券の価格と利回りふつう
額面 €1 000 の債券が、年 8% のクーポンを年 2 回に分けて半年ごとに支払い、8 年後に満期を迎えます。最終利回りは年 3% です。 この債券の価格 P を求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 8%YTM = 3%n = 8
P = €
4.債券の価格と利回りむずかしい
額面 €1 000、年クーポン 4% の債券が 9 年後に満期を迎え、€1 120 で売られています。最終利回り YTM をパーセントで求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 4%n = 9P = €1 120
YTM = %
5.CAPM と WACCふつう
ある会社は、価値 €5 000 000 の普通株、価値 €1 000 000 の優先株、価値 €2 000 000 の負債で資金調達しています。株主資本コストは 12%、優先株のコストは 6.5%、税引前負債コストは 4.5% です。税率は 25% です。WACC を求めなさい。
E = €5 000 000Ps = €1 000 000D = €2 000 000re = 12%rp = 6.5%rd = 4.5%T = 25%
WACC = %
6.CAPM と WACCむずかしい
ある企業は1 株 €25.50 の株式 2 000 000 株と、1 口 €1 000 で取引されている債券 20 000 口をもっています。税引前負債コストは 3%、税率は 25.8% です。株式のベータは 0.8、無リスク金利は 2.5%、市場収益率は 8.5% です。WACC を求めなさい。
β = 0.8rf = 2.5%rm = 8.5%rd = 3%T = 25.8%
WACC = %
7.NPV と IRRふつう
€30 000 の投資が、1 年目から 4 年目の各年末に次のキャッシュフローを生みます：€11 000, €12 000, €8 000, €11 000。資本コストは 12% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。
r = 12%CF0 = −30 000CF1 = 11 000CF2 = 12 000CF3 = 8 000CF4 = 11 000
NPV = €
8.NPV と IRRむずかしい
あるプロジェクトは €20 000 かかり、1 年目から 2 年目の各年末に €9 000, €12 500 を生みます。内部収益率 IRR をパーセントで求めなさい。
CF0 = −20 000CF1 = 9 000CF2 = 12 500
IRR = %
3溶液
1.貨幣の時間価値
答え: FV = 2978 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
利率と期間数
i = r/m = 0.04/4 = 0.01
N = m·n = 4·10 = 40
将来価値
FV = 2 000·(1 + 0.01)40 = 2 000·1.489 = €2 977.73
2.貨幣の時間価値
答え: B = 167964 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
毎月の返済額
i = 0.0025, N = 360
A = 200 000·0.0025/(1 − (1 + 0.0025)−360) = €843.21
残りの支払いの現在価値
まだ残っている借入は、残りの支払いでちょうど完済されなければなりません。
N − k = 360 − 84 = 276
B = 843.2·(1 − (1 + 0.0025)−276)/0.0025 = €167 964.30
3.債券の価格と利回り
答え: P = 1353 €
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
1 期あたり
C = €40.00, i = 0.015, N = 16
クーポンの現在価値
€40.00·(1 − 0.788)/0.015 = €565.25
利回りがクーポンレートより低いので、債券は額面より高く（オーバーパーで）売られます。
4.債券の価格と利回り
答え: YTM = 2.495 %
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
利回りの方程式
€1 120 = €40·(1 − (1 + y)⁻⁹)/y + €1 000/(1 + y)⁹
数値的に解く
P(2%) = €1 163.24, P(3%) = €1 077.86
YTM = 2.495%
5.CAPM と WACC
答え: WACC = 9.156 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
ウェイト
V = 5 000 000 + 1 000 000 + 2 000 000 = €8 000 000
E/V = 0.625, Ps/V = 0.125, D/V = 0.25
WACC
WACC = 0.625·12% + 0.125·6.5% + 0.25·4.5%·(1 − 0.25) = 9.156%
6.CAPM と WACC
答え: WACC = 5.871 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
時価
E = 2 000 000·€25.50 = €51 000 000
D = 20 000·€1 000 = €20 000 000
株主資本コスト（CAPM）
re = 2.5% + 0.8·6% = 7.3%
ウェイト
V = €71 000 000, E/V = 0.7183, D/V = 0.2817
WACC
WACC = 0.7183·7.3% + 0.2817·3%·(1 − 0.258) = 5.871%
7.NPV と IRR
答え: NPV = 2073 €
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
各キャッシュフローの現在価値
CF0 = −30 000
CF1/(1 + 0.12)1 = 11 000/1.12 = 9 821.43
CF2/(1 + 0.12)2 = 12 000/1.254 = 9 566.33
CF3/(1 + 0.12)3 = 8 000/1.405 = 5 694.24
CF4/(1 + 0.12)4 = 11 000/1.574 = 6 990.70
NPV は正なので、このプロジェクトは要求収益率より多く稼ぎます。
8.NPV と IRR
答え: IRR = 4.696 %
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
IRR を挟み込む
利率が上がると NPV は下がるので、IRR は NPV が正の利率と負の利率の間にあります。
NPV(0%) = 1 500.00
NPV(5%) = −90.70
絞り込む
線形補間で最初の見積もりが得られます。これを繰り返す（または電卓の IRR 機能を使う）と正確な利率が得られます。
IRR ≈ 0 + 5·1 500.00/(1 500.00 − (−90.70)) = 4.715%
正確な値: NPV(4.696%) = 0 → IRR = 4.696%