投資と企業価値評価：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

貨幣の時間価値

将来価値: FV = PV·(1 + i)ⁿ
現在価値: PV = FV/(1 + i)ⁿ
年に複数の期間: i = r/m, N = m·n
年金現価: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金終価: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

解き方

すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
答えの符号と桁を確認します。

債券の価格と利回り

債券価格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年ごとの利払い: C/2、y/2、2n 期
直接利回り: C/P
価格と利回り: 利回り上昇 → 価格下落

解き方

1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。

CAPM と WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企業価値: V = E + D

NPV と IRR

正味現在価値: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
均等なキャッシュフロー: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部収益率: NPV = 0 となる r
判断: NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用

解き方

すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
各キャッシュフローを割り引きます：CF_t/(1 + r)^t。
それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。

2演習問題

1.貨幣の時間価値ふつう

クレジットカードの名目年利は 25%、半年複利です。実効年利率 EAR をパーセントで求めなさい。

r = 25%m = 2

EAR = %

2.貨幣の時間価値むずかしい

€200 000 のローンを 25 年間、毎月の元利均等払いで返済します。金利は年 6%、月複利です。毎月の返済額 A を求めなさい。

P = €200 0006% / 12N = 300

A = €

3.債券の価格と利回りふつう

額面 €1 000 の債券が年 7% のクーポンを支払い、9 年後に満期を迎えます。最終利回りが 5% から 3.5% に変化します。債券価格はどれだけ ΔP 変化しますか？

F = €1 000クーポンレート = 7%n = 9y₁ = 5%y₂ = 3.5%

ΔP = €

4.債券の価格と利回りむずかしい

額面 €1 000、年クーポン 7% の債券が 9 年後に満期を迎え、€855 で売られています。最終利回り YTM をパーセントで求めなさい。

F = €1 000クーポンレート = 7%n = 9P = €855

YTM = %

5.CAPM と WACCふつう

ある会社は、価値 €10 000 000 の普通株、価値 €1 500 000 の優先株、価値 €3 000 000 の負債で資金調達しています。株主資本コストは 11%、優先株のコストは 6.5%、税引前負債コストは 3% です。税率は 25% です。WACC を求めなさい。

E = €10 000 000P_s = €1 500 000D = €3 000 000r_e = 11%r_p = 6.5%r_d = 3%T = 25%

WACC = %

6.CAPM と WACCむずかしい

ある企業は1 株 €25.00 の株式 2 500 000 株と、1 口 €1 050 で取引されている債券 20 000 口をもっています。税引前負債コストは 4%、税率は 20% です。株式のベータは 1.1、無リスク金利は 1%、市場収益率は 6% です。WACC を求めなさい。

β = 1.1r_f = 1%r_m = 6%r_d = 4%T = 20%

WACC = %

7.NPV と IRRふつう

€20 000 の投資が、1 年目から 4 年目の各年末に次のキャッシュフローを生みます：€8 000, €6 000, €10 000, €5 000。資本コストは 7.000000000000001% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。

r = 7.000000000000001%CF₀ = −20 000CF₁ = 8 000CF₂ = 6 000CF₃ = 10 000CF₄ = 5 000

NPV = €

8.NPV と IRRむずかしい

あるプロジェクトは €40 000 かかり、1 年目から 2 年目の各年末に €19 500, €28 500 を生みます。内部収益率 IRR をパーセントで求めなさい。

CF₀ = −40 000CF₁ = 19 500CF₂ = 28 500

IRR = %

3溶液

1.貨幣の時間価値

答え: EAR = 26.56 %

貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)ⁿ のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。

1 期あたりの利率

r/m = 0.25/2 = 0.125

1 年分の複利計算

EAR = (1 + 0.125)² − 1 = 1.266 − 1 = 26.56%

答え

EAR = 26.56%

利息が年に複数回複利計算されるとき、EAR は常に名目利率より高くなります。

2.貨幣の時間価値

答え: A = 1289 €

月利と返済回数

i = 0.06/12 = 0.005

N = 12·25 = 300

返済額

等額 A の支払い N 回の現在価値は A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i です。これを借入額と等しくおいて A を求めます。

(1 + i)^−N = 0.224

A = 200 000·0.005/(1 − 0.224) = €1 288.60

答え

A = €1 288.60

3.債券の価格と利回り

答え: ΔP = 124.1 €

債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。

元の利回りでの価格

C = €70.00, i = 0.05, N = 9

€70.00·(1 − 0.6446)/0.05 + €1 000·0.6446 = €497.55 + €644.61 = €1 142.16

新しい利回りでの価格

C = €70.00, i = 0.035, N = 9

€70.00·(1 − 0.7337)/0.035 + €1 000·0.7337 = €532.54 + €733.73 = €1 266.27

変化

ΔP = 1 266.27 − 1 142.16 = €124.11

答え

ΔP = €124.11

4.債券の価格と利回り

答え: YTM = 9.464 %

利回りの方程式

€855 = €70·(1 − (1 + y)⁻⁹)/y + €1 000/(1 + y)⁹

数値的に解く

P(9%) = €880.10, P(10%) = €827.23

YTM = 9.464%

答え

YTM = 9.464%

5.CAPM と WACC

答え: WACC = 8.724 %

資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。

ウェイト

V = 10 000 000 + 1 500 000 + 3 000 000 = €14 500 000

E/V = 0.6897, P_s/V = 0.1034, D/V = 0.2069

WACC

WACC = 0.6897·11% + 0.1034·6.5% + 0.2069·3%·(1 − 0.25) = 8.724%

答え

WACC = 8.724%

6.CAPM と WACC

答え: WACC = 5.67 %

時価

E = 2 500 000·€25.00 = €62 500 000

D = 20 000·€1 050 = €21 000 000

株主資本コスト（CAPM）

r_e = 1% + 1.1·5% = 6.5%

ウェイト

V = €83 500 000, E/V = 0.7485, D/V = 0.2515

WACC

WACC = 0.7485·6.5% + 0.2515·4%·(1 − 0.2) = 5.67%

答え

WACC = 5.67%

7.NPV と IRR

答え: NPV = 4695 €

正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。

各キャッシュフローの現在価値

CF₀ = −20 000

CF₁/(1 + 0.07)¹ = 8 000/1.07 = 7 476.64

CF₂/(1 + 0.07)² = 6 000/1.145 = 5 240.63

CF₃/(1 + 0.07)³ = 10 000/1.225 = 8 162.98

CF₄/(1 + 0.07)⁴ = 5 000/1.311 = 3 814.48

合計する

NPV = €4 694.72

答え

NPV = €4 694.72

NPV は正なので、このプロジェクトは要求収益率より多く稼ぎます。

8.NPV と IRR

答え: IRR = 12.23 %

IRR を挟み込む

利率が上がると NPV は下がるので、IRR は NPV が正の利率と負の利率の間にあります。

NPV(10%) = 1 280.99

NPV(15%) = −1 493.38

絞り込む

線形補間で最初の見積もりが得られます。これを繰り返す（または電卓の IRR 機能を使う）と正確な利率が得られます。

IRR ≈ 10 + 5·1 280.99/(1 280.99 − (−1 493.38)) = 12.31%

正確な値: NPV(12.23%) = 0 → IRR = 12.23%

答え

IRR = 12.23%

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