1公式と解法
貨幣の時間価値
- 将来価値
- FV = PV·(1 + i)n
- 現在価値
- PV = FV/(1 + i)n
- 年に複数の期間
- i = r/m, N = m·n
- 年金現価
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金終価
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
解き方
- すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
- 利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
- 一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
- 答えの符号と桁を確認します。
債券の価格と利回り
- 債券価格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年ごとの利払い
- C/2、y/2、2n 期
- 直接利回り
- C/P
- 価格と利回り
- 利回り上昇 → 価格下落
解き方
- 1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
- 価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
- 半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
- 確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。
CAPM と WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企業価値
- V = E + D
NPV と IRR
- 正味現在価値
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 均等なキャッシュフロー
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部収益率
- NPV = 0 となる r
- 判断
- NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用
解き方
- すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
- 各キャッシュフローを割り引きます：CFt/(1 + r)t。
- それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
- IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。
2演習問題
1.貨幣の時間価値ふつう
€2 000 を年 7%、連続複利で投資します。10 年後の価値 FV を求めなさい。
PV = €2 000r = 7%t = 10
FV = €
2.貨幣の時間価値むずかしい
27 年間、毎月末に €250 を積み立てます。口座の利率は年 4.2%、月複利です。最後にいくら貯まりますか？FV を求めなさい。
A = €2504.2% / 12N = 324
FV = €
3.債券の価格と利回りふつう
額面 €1 000 の債券が、年 5% のクーポンを年 2 回に分けて半年ごとに支払い、12 年後に満期を迎えます。最終利回りは年 6% です。 この債券の価格 P を求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 5%YTM = 6%n = 12
P = €
4.債券の価格と利回りむずかしい
額面 €1 000、年クーポン 6% の債券が 10 年後に満期を迎え、€1 120 で売られています。最終利回り YTM をパーセントで求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 6%n = 10P = €1 120
YTM = %
5.CAPM と WACCふつう
ある会社の負債資本比率（時価）は 0.25 です。株主資本コストは 12%、税引前負債コストは 4.5%、税率は 25.8% です。WACC を求めなさい。
D/E = 0.25re = 12%rd = 4.5%T = 25.8%
WACC = %
6.CAPM と WACCむずかしい
ある会社の株主資本の時価は €6 000 000、株主資本コストは 14% です。負債は 2 000 枚の債券（額面 €1 000、年間クーポン 4%、残存期間 8 年）からなり、1 枚 €1 108 で取引されています。税率は 25.8% です。債券の最終利回りを税引前負債コストとして、WACC を求めなさい。
E = €6 000 000re = 14%債券: 2 000 × €1 108クーポンレート = 4%n = 8T = 25.8%
WACC = %
7.NPV と IRRふつう
ある機械の費用は今日 €80 000 です。6 年間、毎年末に €18 000 を生み、その後 €16 000 で売却できます。資本コストは 12% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。
C0 = €80 000CF = €18 000S = €16 000n = 6r = 12%
NPV = €
8.NPV と IRRむずかしい
あるプロジェクトの費用は今日 €150 000 です。そのキャッシュフローは 1 年目の末に €30 000 で、6 年目の末の最後のキャッシュフローまで年 3% ずつ増加します。資本コストは 10% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。
C0 = €150 000CF1 = €30 000g = 3%n = 6r = 10%
NPV = €
3溶液
1.貨幣の時間価値
答え: FV = 4028 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
指数
r·t = 0.07·10 = 0.7
e0.7 = 2.014
将来価値
FV = 2 000·2.014 = €4 027.51
2.貨幣の時間価値
答え: FV = 150137 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
月利と積立回数
i = 0.042/12 = 0.0035
N = 12·27 = 324
積立金の将来価値
FV = A·((1 + i)N − 1)/i = 250·(3.102 − 1)/0.0035 = €150 136.89
自分で払い込んだのは €81 000。残りは利息です。
3.債券の価格と利回り
答え: P = 915.3 €
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
1 期あたり
C = €25.00, i = 0.03, N = 24
クーポンの現在価値
€25.00·(1 − 0.4919)/0.03 = €423.39
利回りがクーポンレートより高いので、債券は額面より安く（アンダーパーで）売られます。
4.債券の価格と利回り
答え: YTM = 4.485 %
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
利回りの方程式
€1 120 = €60·(1 − (1 + y)⁻¹⁰)/y + €1 000/(1 + y)¹⁰
数値的に解く
P(4%) = €1 162.22, P(5%) = €1 077.22
YTM = 4.485%
5.CAPM と WACC
答え: WACC = 10.27 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
D/E からの重み
E/V = 1/(1 + 0.25) = 0.8
D/V = 0.25/(1 + 0.25) = 0.2
WACC
WACC = 0.8·12% + 0.2·4.5%·(1 − 0.258) = 10.27%
6.CAPM と WACC
答え: WACC = 10.72 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
負債コスト（YTM）
1108 = 40·(1 − (1 + y)−8)/y + 1000/(1 + y)8
y = 2.494%
時価
D = 2 000·€1 108 = €2 216 000
V = €8 216 000, E/V = 0.7303, D/V = 0.2697
WACC
WACC = 0.7303·14% + 0.2697·2.494%·(1 − 0.258) = 10.72%
7.NPV と IRR
答え: NPV = 2111 €
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
NPV
NPV = −80 000 + 74 005.33 + 8 106.10 = €2 111.43
8.NPV と IRR
答え: NPV = −10291 €
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
成長型年金の現在価値
((1.03)/(1.1))6 = 0.674
PV = 30 000/(0.1 − 0.03)·(1 − 0.674) = 139 709.40
NPV
NPV = 139 709.40 − 150 000 = −€10 290.60
NPV は負なので、このプロジェクトは要求収益率より少なくしか稼ぎません。