投資と企業価値評価：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

貨幣の時間価値

将来価値: FV = PV·(1 + i)ⁿ
現在価値: PV = FV/(1 + i)ⁿ
年に複数の期間: i = r/m, N = m·n
年金現価: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金終価: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

解き方

すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
答えの符号と桁を確認します。

債券の価格と利回り

債券価格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年ごとの利払い: C/2、y/2、2n 期
直接利回り: C/P
価格と利回り: 利回り上昇 → 価格下落

解き方

1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。

CAPM と WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企業価値: V = E + D

NPV と IRR

正味現在価値: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
均等なキャッシュフロー: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部収益率: NPV = 0 となる r
判断: NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用

解き方

すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
各キャッシュフローを割り引きます：CF_t/(1 + r)^t。
それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。

2演習問題

1.貨幣の時間価値ふつう

ある不動産は来年 €6 000 の純賃料を生むと見込まれています。賃料は永久に年 1.5% ずつ増加すると見込まれています。要求収益率は年 6.5% です。この不動産の今日の価値 PV を求めなさい。

C₁ = €6 000g = 1.5%r = 6.5%

PV = €

2.貨幣の時間価値むずかしい

11 年間、毎年初めに €5 000 を預け入れます。最初の預け入れは今日です。口座の利率は年 4% です。11 年目の末に口座にはいくらありますか？FV を求めなさい。

A = €5 000i = 4%n = 11

FV = €

3.債券の価格と利回りふつう

額面 €1 000 の債券が年 6% のクーポンを支払い、12 年後に満期を迎えます。最終利回りが 7% から 9% に変化します。債券価格はどれだけ ΔP 変化しますか？

F = €1 000クーポンレート = 6%n = 12y₁ = 7%y₂ = 9%

ΔP = €

4.債券の価格と利回りむずかしい

額面 €1 000 の債券が年 6% のクーポンを半年ごとの 2 回に分けて支払い、6 年後に満期を迎えます。価格は €1 164 です。最終利回り YTM を年率（半年利回りの 2 倍）としてパーセントで求めなさい。

F = €1 000クーポンレート = 6% (2×)n = 6P = €1 164

YTM = %

5.CAPM と WACCふつう

ある会社の株主資本の価値は €4 000 000、負債の価値は €4 000 000 です。WACC は 7.63%、税引前負債コストは 3%、税率は 25% です。株主資本コスト r_e を求めなさい。

E = €4 000 000D = €4 000 000WACC = 7.63%r_d = 3%T = 25%

r_e = %

6.CAPM と WACCむずかしい

ある企業は1 株 €58.50 の株式 2 500 000 株と、1 口 €1 020 で取引されている債券 40 000 口をもっています。税引前負債コストは 6%、税率は 30% です。株式のベータは 0.8、無リスク金利は 2%、市場収益率は 8.5% です。WACC を求めなさい。

β = 0.8r_f = 2%r_m = 8.5%r_d = 6%T = 30%

WACC = %

7.NPV と IRRふつう

€30 000 の投資が、1 年目から 4 年目の各年末に次のキャッシュフローを生みます：€11 000, €10 000, €14 000, €13 000。資本コストは 5% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。

r = 5%CF₀ = −30 000CF₁ = 11 000CF₂ = 10 000CF₃ = 14 000CF₄ = 13 000

NPV = €

8.NPV と IRRむずかしい

プロジェクト A の費用は €40 000 で、1 年目から 3 年目の各年末に €21 500, €16 000, €9 000 を生みます。プロジェクト B の費用は €45 000 で、€12 500, €18 000, €23 000 を生みます。両方のプロジェクトの NPV が等しくなる交差利率 r* をパーセントで求めなさい。

A: −40 000, 21 500, 16 000, 9 000B: −45 000, 12 500, 18 000, 23 000

r* = %

3溶液

1.貨幣の時間価値

答え: PV = 120000 €

貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)ⁿ のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。

成長型永久年金

PV = C₁/(r − g) = 6 000/(0.065 − 0.015) = 6 000/0.05 = €120 000.00

答え

PV = €120 000.00

2.貨幣の時間価値

答え: FV = 70129 €

通常の年金係数

((1 + 0.04)¹¹ − 1)/0.04 = 13.49

期首払い年金

各預け入れは 1 年長く運用されます。

FV = 5 000·13.49·1.04 = €70 129.03

答え

FV = €70 129.03

3.債券の価格と利回り

答え: ΔP = −135.4 €

債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。

元の利回りでの価格

C = €60.00, i = 0.07, N = 12

€60.00·(1 − 0.444)/0.07 + €1 000·0.444 = €476.56 + €444.01 = €920.57

新しい利回りでの価格

C = €60.00, i = 0.09, N = 12

€60.00·(1 − 0.3555)/0.09 + €1 000·0.3555 = €429.64 + €355.53 = €785.18

変化

ΔP = 785.18 − 920.57 = −€135.39

答え

ΔP = −€135.39

4.債券の価格と利回り

答え: YTM = 2.994 %

1 期あたり

C = €30.00, N = 12

数値的に解く

i = 1.497% 半年あたり

YTM

YTM = 2·1.497% = 2.994%

答え

YTM = 2.994%

5.CAPM と WACC

答え: r_e = 13.01 %

資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。

ウェイト

V = €8 000 000, E/V = 0.5, D/V = 0.5

WACC の負債の部分

0.5·3%·(1 − 0.25) = 1.125%

株主資本コスト

r_e = (7.63% − 1.125%)/0.5 = 13.01%

答え

r_e = 13.01%

6.CAPM と WACC

答え: WACC = 6.546 %

時価

E = 2 500 000·€58.50 = €146 250 000

D = 40 000·€1 020 = €40 800 000

株主資本コスト（CAPM）

r_e = 2% + 0.8·6.5% = 7.2%

ウェイト

V = €187 050 000, E/V = 0.7819, D/V = 0.2181

WACC

WACC = 0.7819·7.2% + 0.2181·6%·(1 − 0.3) = 6.546%

答え

WACC = 6.546%

7.NPV と IRR

答え: NPV = 12335 €

正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。

各キャッシュフローの現在価値

CF₀ = −30 000

CF₁/(1 + 0.05)¹ = 11 000/1.05 = 10 476.19

CF₂/(1 + 0.05)² = 10 000/1.103 = 9 070.29

CF₃/(1 + 0.05)³ = 14 000/1.158 = 12 093.73

CF₄/(1 + 0.05)⁴ = 13 000/1.216 = 10 695.13

合計する

NPV = €12 335.34

答え

NPV = €12 335.34

NPV は正なので、このプロジェクトは要求収益率より多く稼ぎます。

8.NPV と IRR

答え: r* = 6.155 %

交差利率：2 つのプロジェクトの NPV が等しくなる割引率です。それはキャッシュフローの差（B − A）の IRR です。これより低い利率では、キャッシュフローが遅くて大きいプロジェクトの NPV が高くなり、これより高い利率ではもう一方が勝ちます。

キャッシュフローの差

ΔCF₀ = −45 000 − (−40 000) = −5 000

ΔCF₁ = 12 500 − 21 500 = −9 000

ΔCF₂ = 18 000 − 16 000 = 2 000

ΔCF₃ = 23 000 − 9 000 = 14 000

差の IRR

NPV_Δ(6%) = 44.10

NPV_Δ(7%) = −236.17

r* = 6.155%

答え

r* = 6.155%

確認：6.155% では両方の NPV が €1 975.58 です。

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