投資と企業価値評価：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

貨幣の時間価値

将来価値: FV = PV·(1 + i)ⁿ
現在価値: PV = FV/(1 + i)ⁿ
年に複数の期間: i = r/m, N = m·n
年金現価: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金終価: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

解き方

すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
答えの符号と桁を確認します。

債券の価格と利回り

債券価格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年ごとの利払い: C/2、y/2、2n 期
直接利回り: C/P
価格と利回り: 利回り上昇 → 価格下落

解き方

1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。

CAPM と WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企業価値: V = E + D

NPV と IRR

正味現在価値: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
均等なキャッシュフロー: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部収益率: NPV = 0 となる r
判断: NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用

解き方

すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
各キャッシュフローを割り引きます：CF_t/(1 + r)^t。
それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。

2演習問題

1.貨幣の時間価値ふつう

3 年後に €50 000 が必要です。口座の利率は年 3.6%、月複利です。今日いくら預ければよいですか？現在価値 PV を求めなさい。

FV = €50 0003.6% / 12n = 3

PV = €

2.貨幣の時間価値むずかしい

€15 000 のローンを、年 7.2%、月複利で 3 年間の元利均等の月払いで返済します。ローン期間全体で支払う利息の合計 I はいくらですか？

P = €15 0007.2% / 12N = 36

I = €

3.債券の価格と利回りふつう

額面 €1 000 の債券が年 2% のクーポンを支払い、4 年後に満期を迎えます。最終利回りが 6% から 4% に変化します。債券価格はどれだけ ΔP 変化しますか？

F = €1 000クーポンレート = 2%n = 4y₁ = 6%y₂ = 4%

ΔP = €

4.債券の価格と利回りむずかしい

額面 €1 000、年クーポン 5% の債券が 8 年後に満期を迎え、€1 065 で売られています。最終利回り YTM をパーセントで求めなさい。

F = €1 000クーポンレート = 5%n = 8P = €1 065

YTM = %

5.CAPM と WACCふつう

ある会社は、価値 €8 000 000 の普通株、価値 €1 500 000 の優先株、価値 €5 000 000 の負債で資金調達しています。株主資本コストは 14%、優先株のコストは 8%、税引前負債コストは 5% です。税率は 21% です。WACC を求めなさい。

E = €8 000 000P_s = €1 500 000D = €5 000 000r_e = 14%r_p = 8%r_d = 5%T = 21%

WACC = %

6.CAPM と WACCむずかしい

ある企業は1 株 €10.50 の株式 2 000 000 株と、1 口 €1 050 で取引されている債券 10 000 口をもっています。税引前負債コストは 4%、税率は 30% です。株式のベータは 1.2、無リスク金利は 1.5%、市場収益率は 6% です。WACC を求めなさい。

β = 1.2r_f = 1.5%r_m = 6%r_d = 4%T = 30%

WACC = %

7.NPV と IRRふつう

€20 000 の投資が、1 年目から 4 年目の各年末に次のキャッシュフローを生みます：€5 000, €7 000, €6 000, €4 000。資本コストは 9% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。

r = 9%CF₀ = −20 000CF₁ = 5 000CF₂ = 7 000CF₃ = 6 000CF₄ = 4 000

NPV = €

8.NPV と IRRむずかしい

プロジェクト A の費用は €20 000 で、1 年目から 3 年目の各年末に €11 500, €8 000, €4 500 を生みます。プロジェクト B の費用は €22 000 で、€6 500, €9 000, €11 500 を生みます。両方のプロジェクトの NPV が等しくなる交差利率 r* をパーセントで求めなさい。

A: −20 000, 11 500, 8 000, 4 500B: −22 000, 6 500, 9 000, 11 500

r* = %

3溶液

1.貨幣の時間価値

答え: PV = 44889 €

貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)ⁿ のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。

利率と期間数

i = 0.036000000000000004/12 = 0.003

N = 12·3 = 36

現在価値

PV = FV/(1 + i)^N = 50 000/1.114 = €44 888.64

答え

PV = €44 888.64

2.貨幣の時間価値

答え: I = 1723 €

毎月の返済額

i = 0.006, N = 36

A = 15 000·0.006/(1 − (1 + 0.006)⁻³⁶) = €464.53

利息の総額

I = N·A − P = 36·464.5 − 15 000 = €1 723.06

答え

I = €1 723.06

3.債券の価格と利回り

答え: ΔP = 66.01 €

債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。

元の利回りでの価格

C = €20.00, i = 0.06, N = 4

€20.00·(1 − 0.7921)/0.06 + €1 000·0.7921 = €69.30 + €792.09 = €861.40

新しい利回りでの価格

C = €20.00, i = 0.04, N = 4

€20.00·(1 − 0.8548)/0.04 + €1 000·0.8548 = €72.60 + €854.80 = €927.40

変化

ΔP = 927.40 − 861.40 = €66.01

答え

ΔP = €66.01

4.債券の価格と利回り

答え: YTM = 4.033 %

利回りの方程式

€1 065 = €50·(1 − (1 + y)⁻⁸)/y + €1 000/(1 + y)⁸

数値的に解く

P(4%) = €1 067.33, P(5%) = €1 000.00

YTM = 4.033%

答え

YTM = 4.033%

5.CAPM と WACC

答え: WACC = 9.914 %

資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。

ウェイト

V = 8 000 000 + 1 500 000 + 5 000 000 = €14 500 000

E/V = 0.5517, P_s/V = 0.1034, D/V = 0.3448

WACC

WACC = 0.5517·14% + 0.1034·8% + 0.3448·5%·(1 − 0.21) = 9.914%

答え

WACC = 9.914%

6.CAPM と WACC

答え: WACC = 5.533 %

時価

E = 2 000 000·€10.50 = €21 000 000

D = 10 000·€1 050 = €10 500 000

株主資本コスト（CAPM）

r_e = 1.5% + 1.2·4.5% = 6.9%

ウェイト

V = €31 500 000, E/V = 0.6667, D/V = 0.3333

WACC

WACC = 0.6667·6.9% + 0.3333·4%·(1 − 0.3) = 5.533%

答え

WACC = 5.533%

7.NPV と IRR

答え: NPV = −2054 €

正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。

各キャッシュフローの現在価値

CF₀ = −20 000

CF₁/(1 + 0.09)¹ = 5 000/1.09 = 4 587.16

CF₂/(1 + 0.09)² = 7 000/1.188 = 5 891.76

CF₃/(1 + 0.09)³ = 6 000/1.295 = 4 633.10

CF₄/(1 + 0.09)⁴ = 4 000/1.412 = 2 833.70

合計する

NPV = €−2 054.28

答え

NPV = €−2 054.28

NPV は負なので、このプロジェクトは要求収益率より少なくしか稼ぎません。

8.NPV と IRR

答え: r* = 6.366 %

交差利率：2 つのプロジェクトの NPV が等しくなる割引率です。それはキャッシュフローの差（B − A）の IRR です。これより低い利率では、キャッシュフローが遅くて大きいプロジェクトの NPV が高くなり、これより高い利率ではもう一方が勝ちます。

キャッシュフローの差

ΔCF₀ = −22 000 − (−20 000) = −2 000

ΔCF₁ = 6 500 − 11 500 = −5 000

ΔCF₂ = 9 000 − 8 000 = 1 000

ΔCF₃ = 11 500 − 4 500 = 7 000

差の IRR

NPV_Δ(6%) = 50.35

NPV_Δ(7%) = −85.37

r* = 6.366%

答え

r* = 6.366%

確認：6.366% では両方の NPV が €1 622.19 です。

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