1公式と解法
貨幣の時間価値
- 将来価値
- FV = PV·(1 + i)n
- 現在価値
- PV = FV/(1 + i)n
- 年に複数の期間
- i = r/m, N = m·n
- 年金現価
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金終価
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
解き方
- すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
- 利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
- 一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
- 答えの符号と桁を確認します。
債券の価格と利回り
- 債券価格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年ごとの利払い
- C/2、y/2、2n 期
- 直接利回り
- C/P
- 価格と利回り
- 利回り上昇 → 価格下落
解き方
- 1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
- 価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
- 半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
- 確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。
CAPM と WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企業価値
- V = E + D
NPV と IRR
- 正味現在価値
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 均等なキャッシュフロー
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部収益率
- NPV = 0 となる r
- 判断
- NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用
解き方
- すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
- 各キャッシュフローを割り引きます：CFt/(1 + r)t。
- それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
- IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。
2演習問題
1.貨幣の時間価値ふつう
名目年利 6%、四半期複利で €12 000 を投資します。2 年後の投資の価値 FV を求めなさい。
PV = €12 0006% / 4n = 2
FV = €
2.貨幣の時間価値むずかしい
30 年間、毎月末に €150 を積み立てます。口座の利率は年 3%、月複利です。最後にいくら貯まりますか？FV を求めなさい。
A = €1503% / 12N = 360
FV = €
3.債券の価格と利回りふつう
額面 €1 000 の債券が 8 年後に満期を迎え、年 1 回クーポンを支払います。最終利回りが 4% のとき €865 で売られています。クーポン利率 c をパーセントで求めなさい。
F = €1 000n = 8P = €865YTM = 4%
c = %
4.債券の価格と利回りむずかしい
残存期間 19 年の債券（額面 €1 000、年間クーポン 9%）が €1 268 で売られています。発行者は 6 年後に €1 090 の償還価格で繰上償還できます。繰上償還利回り YTC をパーセントで求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 9%P = €1 268繰上償還価格 = €1 090繰上償還まで 6 年
YTC = %
5.CAPM と WACCふつう
ある企業は時価 €3 000 000 の株主資本と時価 €3 000 000 の負債をもっています。株主資本コストは 11%、税引前負債コストは 4%、税率は 25.8% です。WACC を求めなさい。
E = €3 000 000D = €3 000 000re = 11%rd = 4%T = 25.8%
WACC = %
6.CAPM と WACCむずかしい
ある会社の株式のベータは、現在の負債資本比率 0.2 で 1.2 です。負債資本比率を 1.5 に引き上げる計画です。税率は 25.8%、無リスク金利は 3%、市場リスクプレミアムは 5.5% です。変更後の株主資本コスト re を求めなさい。
βL = 1.2D/E1 = 0.2D/E2 = 1.5T = 25.8%rf = 3%rm − rf = 5.5%
re = %
7.NPV と IRRふつう
€60 000 の投資が、1 年目から 3 年目の各年末に次のキャッシュフローを生みます：€16 000, €21 000, €27 000。資本コストは 6% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。
r = 6%CF0 = −60 000CF1 = 16 000CF2 = 21 000CF3 = 27 000
NPV = €
8.NPV と IRRむずかしい
あるプロジェクトの費用は今日 €80 000 です。そのキャッシュフローは 1 年目の末に €19 000 で、5 年目の末の最後のキャッシュフローまで年 5% ずつ増加します。資本コストは 12% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。
C0 = €80 000CF1 = €19 000g = 5%n = 5r = 12%
NPV = €
3溶液
1.貨幣の時間価値
答え: FV = 13518 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
利率と期間数
i = r/m = 0.06/4 = 0.015
N = m·n = 4·2 = 8
将来価値
FV = 12 000·(1 + 0.015)8 = 12 000·1.126 = €13 517.91
2.貨幣の時間価値
答え: FV = 87411 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
月利と積立回数
i = 0.03/12 = 0.0025
N = 12·30 = 360
積立金の将来価値
FV = A·((1 + i)N − 1)/i = 150·(2.457 − 1)/0.0025 = €87 410.53
自分で払い込んだのは €54 000。残りは利息です。
3.債券の価格と利回り
答え: c = 1.995 %
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
額面の現在価値
1000·(1 + 0.04)−8 = €730.69
クーポン
C = (865 − 730.69)/6.733 = €19.95
4.債券の価格と利回り
答え: YTC = 5.036 %
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
利回りの方程式
1268 = 90·(1 − (1 + y)−6)/y + 1090/(1 + y)6
数値的に解く
y = 5%: €1 270.19
y = 6%: €1 210.97
YTC = 5.036%
最終利回りは 6.503% です。オーバーパー債券の投資家は繰上償還を予想するので、低い方の繰上償還利回りの方が現実的です。
5.CAPM と WACC
答え: WACC = 6.984 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
ウェイト
V = €6 000 000, E/V = 0.5, D/V = 0.5
WACC
WACC = 0.5·11% + 0.5·4%·(1 − 0.258) = 6.984%
6.CAPM と WACC
答え: re = 15.14 %
レバードベータ（ハマダの式）：負債があると株式のリスクは高まります。βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E) で、βU は負債のない事業のベータです。ベータを別の資本構成に移すには、まずアンレバーし、次に新しい D/E でリレバーします。
ベータをアンレバーする
βU = 1.2/(1 + 0.742·0.2) = 1.045
新しい D/E でリレバーする
βL = 1.045·(1 + 0.742·1.5) = 2.208
株主資本コスト（CAPM）
re = 3% + 2.208·5.5% = 15.14%
7.NPV と IRR
答え: NPV = −3546 €
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
各キャッシュフローの現在価値
CF0 = −60 000
CF1/(1 + 0.06)1 = 16 000/1.06 = 15 094.34
CF2/(1 + 0.06)2 = 21 000/1.124 = 18 689.93
CF3/(1 + 0.06)3 = 27 000/1.191 = 22 669.72
NPV は負なので、このプロジェクトは要求収益率より少なくしか稼ぎません。
8.NPV と IRR
答え: NPV = −5139 €
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
成長型年金の現在価値
((1.05)/(1.12))5 = 0.7242
PV = 19 000/(0.12 − 0.05)·(1 − 0.7242) = 74 860.97
NPV
NPV = 74 860.97 − 80 000 = −€5 139.03
NPV は負なので、このプロジェクトは要求収益率より少なくしか稼ぎません。