1公式と解法
貨幣の時間価値
- 将来価値
- FV = PV·(1 + i)n
- 現在価値
- PV = FV/(1 + i)n
- 年に複数の期間
- i = r/m, N = m·n
- 年金現価
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金終価
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
解き方
- すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
- 利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
- 一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
- 答えの符号と桁を確認します。
債券の価格と利回り
- 債券価格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年ごとの利払い
- C/2、y/2、2n 期
- 直接利回り
- C/P
- 価格と利回り
- 利回り上昇 → 価格下落
解き方
- 1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
- 価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
- 半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
- 確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。
CAPM と WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企業価値
- V = E + D
NPV と IRR
- 正味現在価値
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 均等なキャッシュフロー
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部収益率
- NPV = 0 となる r
- 判断
- NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用
解き方
- すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
- 各キャッシュフローを割り引きます：CFt/(1 + r)t。
- それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
- IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。
2演習問題
1.貨幣の時間価値ふつう
年金が毎年末に €5 000 を 15 年間支払います。利率は年 8% です。この年金の現在価値 PV を求めなさい。
A = €5 000i = 8%n = 15
PV = €
2.貨幣の時間価値むずかしい
€15 000 のローンを、年 5.4%、月複利で 3 年間の元利均等の月払いで返済します。ローン期間全体で支払う利息の合計 I はいくらですか？
P = €15 0005.4% / 12N = 36
I = €
3.債券の価格と利回りふつう
額面 €1 000 の債券が、年 4% のクーポンを年 2 回に分けて半年ごとに支払い、7 年後に満期を迎えます。最終利回りは年 7% です。 この債券の価格 P を求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 4%YTM = 7%n = 7
P = €
4.債券の価格と利回りむずかしい
ある債券が €980 で取引され、最終利回りは 4%（年複利）、マコーレー・デュレーションは 10.1 年です。利回りが 100 ベーシスポイント低下した場合の新しい価格 P を、修正デュレーションを使って推定しなさい。
P0 = €980y = 4%D = 10.1Δy = −100 bp
P = €
5.CAPM と WACCふつう
ある企業は時価 €8 000 000 の株主資本と時価 €2 000 000 の負債をもっています。株主資本コストは 14%、税引前負債コストは 7%、税率は 28% です。WACC を求めなさい。
E = €8 000 000D = €2 000 000re = 14%rd = 7%T = 28%
WACC = %
6.CAPM と WACCむずかしい
ある会社の株式のベータは、現在の負債資本比率 0.5 で 1.3 です。負債資本比率を 0.75 に引き上げる計画です。税率は 30%、無リスク金利は 1%、市場リスクプレミアムは 4% です。変更後の株主資本コスト re を求めなさい。
βL = 1.3D/E1 = 0.5D/E2 = 0.75T = 30%rf = 1%rm − rf = 4%
re = %
7.NPV と IRRふつう
ある機械の費用は今日 €40 000、耐用年数は 7 年、運転費は毎年 €2 000（各年末に支払い）です。資本コストは 6% です。等価年間費用 EAC を求めなさい。
C0 = €40 000M = €2 000n = 7r = 6%
EAC = €
8.NPV と IRRむずかしい
あるプロジェクトは €25 000 かかり、1 年目から 3 年目の各年末に €18 000, €18 500, €16 000 を生みます。内部収益率 IRR をパーセントで求めなさい。
CF0 = −25 000CF1 = 18 000CF2 = 18 500CF3 = 16 000
IRR = %
3溶液
1.貨幣の時間価値
答え: PV = 42797 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
年金現価係数
(1 − (1 + i)−n)/i = (1 − 0.3152)/0.08 = 8.559
現在価値
PV = 5 000·8.559 = €42 797.39
2.貨幣の時間価値
答え: I = 1281 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
毎月の返済額
i = 0.0045, N = 36
A = 15 000·0.0045/(1 − (1 + 0.0045)−36) = €452.26
利息の総額
I = N·A − P = 36·452.3 − 15 000 = €1 281.44
3.債券の価格と利回り
答え: P = 836.2 €
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
1 期あたり
C = €20.00, i = 0.035, N = 14
クーポンの現在価値
€20.00·(1 − 0.6178)/0.035 = €218.41
利回りがクーポンレートより高いので、債券は額面より安く（アンダーパーで）売られます。
4.債券の価格と利回り
答え: P = 1075 €
デュレーション：マコーレー・デュレーションは、キャッシュフローの現在価値を重みとした、債券がキャッシュフローを支払う時点の加重平均です：D = Σ t·PVₜ/P。修正デュレーション D/(1 + y) は、利回りがわずかに変化したときの価格変化率を推定します：%ΔP ≈ −Dmod·Δy。
推定価格変化
%ΔP ≈ −9.712·(−0.01) = 9.712%
P ≈ 980·(1 + 0.09712) = €1 075.17
デュレーションは線形の推定です。利回りの変化が大きいと、コンベクシティにより実際の価格は少し高くなります。
5.CAPM と WACC
答え: WACC = 12.21 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
ウェイト
V = €10 000 000, E/V = 0.8, D/V = 0.2
WACC
WACC = 0.8·14% + 0.2·7%·(1 − 0.28) = 12.21%
6.CAPM と WACC
答え: re = 6.874 %
レバードベータ（ハマダの式）：負債があると株式のリスクは高まります。βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E) で、βU は負債のない事業のベータです。ベータを別の資本構成に移すには、まずアンレバーし、次に新しい D/E でリレバーします。
ベータをアンレバーする
βU = 1.3/(1 + 0.7·0.5) = 0.963
新しい D/E でリレバーする
βL = 0.963·(1 + 0.7·0.75) = 1.469
株主資本コスト（CAPM）
re = 1% + 1.469·4% = 6.874%
7.NPV と IRR
答え: EAC = 9165 €
等価年間費用：すべての費用の現在価値を、耐用期間にわたる毎年等しい金額（年金）に分けます：EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ)。耐用年数の異なる機械を比較できます。
年金現価係数
(1 − 1.06−7)/0.06 = 5.582
EAC
EAC = 7 165.40 + 2 000 = €9 165.40
8.NPV と IRR
答え: IRR = 49.87 %
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
IRR を挟み込む
利率が上がると NPV は下がるので、IRR は NPV が正の利率と負の利率の間にあります。
NPV(45%) = 1 461.11
NPV(50%) = −37.04
絞り込む
線形補間で最初の見積もりが得られます。これを繰り返す（または電卓の IRR 機能を使う）と正確な利率が得られます。
IRR ≈ 45 + 5·1 461.11/(1 461.11 − (−37.04)) = 49.88%
正確な値: NPV(49.87%) = 0 → IRR = 49.87%