1公式と解法
貨幣の時間価値
- 将来価値
- FV = PV·(1 + i)n
- 現在価値
- PV = FV/(1 + i)n
- 年に複数の期間
- i = r/m, N = m·n
- 年金現価
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金終価
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
解き方
- すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
- 利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
- 一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
- 答えの符号と桁を確認します。
債券の価格と利回り
- 債券価格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年ごとの利払い
- C/2、y/2、2n 期
- 直接利回り
- C/P
- 価格と利回り
- 利回り上昇 → 価格下落
解き方
- 1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
- 価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
- 半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
- 確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。
CAPM と WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企業価値
- V = E + D
NPV と IRR
- 正味現在価値
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 均等なキャッシュフロー
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部収益率
- NPV = 0 となる r
- 判断
- NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用
解き方
- すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
- 各キャッシュフローを割り引きます：CFt/(1 + r)t。
- それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
- IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。
2演習問題
1.貨幣の時間価値ふつう
2 年後に €25 000 が必要です。口座の利率は年 5%、月複利です。今日いくら預ければよいですか？現在価値 PV を求めなさい。
FV = €25 0005% / 12n = 2
PV = €
2.貨幣の時間価値むずかしい
29 年間、毎年初めに €5 000 を預け入れます。最初の預け入れは今日です。口座の利率は年 4% です。29 年目の末に口座にはいくらありますか？FV を求めなさい。
A = €5 000i = 4%n = 29
FV = €
3.債券の価格と利回りふつう
額面 €1 000 の債券が、年 4% のクーポンを年 2 回に分けて半年ごとに支払い、5 年後に満期を迎えます。最終利回りは年 2.5% です。 この債券の価格 P を求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 4%YTM = 2.5%n = 5
P = €
4.債券の価格と利回りむずかしい
額面 €1 000、年クーポン 4% の債券が 6 年後に満期を迎え、€925 で売られています。最終利回り YTM をパーセントで求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 4%n = 6P = €925
YTM = %
5.CAPM と WACCふつう
ある会社は、価値 €6 000 000 の普通株、価値 €1 000 000 の優先株、価値 €2 000 000 の負債で資金調達しています。株主資本コストは 11%、優先株のコストは 6.5%、税引前負債コストは 3% です。税率は 20% です。WACC を求めなさい。
E = €6 000 000Ps = €1 000 000D = €2 000 000re = 11%rp = 6.5%rd = 3%T = 20%
WACC = %
6.CAPM と WACCむずかしい
ある企業は1 株 €26.50 の株式 1 000 000 株と、1 口 €980 で取引されている債券 5 000 口をもっています。税引前負債コストは 3%、税率は 25.8% です。株式のベータは 1.2、無リスク金利は 2%、市場収益率は 8% です。WACC を求めなさい。
β = 1.2rf = 2%rm = 8%rd = 3%T = 25.8%
WACC = %
7.NPV と IRRふつう
€45 000 の投資が、1 年目から 4 年目の各年末に次のキャッシュフローを生みます：€14 000, €10 000, €18 000, €12 000。資本コストは 10% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。
r = 10%CF0 = −45 000CF1 = 14 000CF2 = 10 000CF3 = 18 000CF4 = 12 000
NPV = €
8.NPV と IRRむずかしい
プロジェクト A の費用は €30 000 で、1 年目から 3 年目の各年末に €17 500, €10 000, €6 500 を生みます。プロジェクト B の費用は €32 000 で、€8 500, €12 000, €16 500 を生みます。両方のプロジェクトの NPV が等しくなる交差利率 r* をパーセントで求めなさい。
A: −30 000, 17 500, 10 000, 6 500B: −32 000, 8 500, 12 000, 16 500
r* = %
3溶液
1.貨幣の時間価値
答え: PV = 22626 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
利率と期間数
i = 0.05/12 = 0.004167
N = 12·2 = 24
現在価値
PV = FV/(1 + i)N = 25 000/1.105 = €22 625.64
2.貨幣の時間価値
答え: FV = 275425 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
通常の年金係数
((1 + 0.04)29 − 1)/0.04 = 52.97
期首払い年金
各預け入れは 1 年長く運用されます。
FV = 5 000·52.97·1.04 = €275 424.69
3.債券の価格と利回り
答え: P = 1070 €
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
1 期あたり
C = €20.00, i = 0.0125, N = 10
クーポンの現在価値
€20.00·(1 − 0.8832)/0.0125 = €186.91
利回りがクーポンレートより低いので、債券は額面より高く（オーバーパーで）売られます。
4.債券の価格と利回り
答え: YTM = 5.501 %
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
利回りの方程式
€925 = €40·(1 − (1 + y)⁻⁶)/y + €1 000/(1 + y)⁶
数値的に解く
P(5%) = €949.24, P(6%) = €901.65
YTM = 5.501%
5.CAPM と WACC
答え: WACC = 8.589 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
ウェイト
V = 6 000 000 + 1 000 000 + 2 000 000 = €9 000 000
E/V = 0.6667, Ps/V = 0.1111, D/V = 0.2222
WACC
WACC = 0.6667·11% + 0.1111·6.5% + 0.2222·3%·(1 − 0.2) = 8.589%
6.CAPM と WACC
答え: WACC = 8.112 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
時価
E = 1 000 000·€26.50 = €26 500 000
D = 5 000·€980 = €4 900 000
ウェイト
V = €31 400 000, E/V = 0.8439, D/V = 0.1561
WACC
WACC = 0.8439·9.2% + 0.1561·3%·(1 − 0.258) = 8.112%
7.NPV と IRR
答え: NPV = −2288 €
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
各キャッシュフローの現在価値
CF0 = −45 000
CF1/(1 + 0.1)1 = 14 000/1.1 = 12 727.27
CF2/(1 + 0.1)2 = 10 000/1.21 = 8 264.46
CF3/(1 + 0.1)3 = 18 000/1.331 = 13 523.67
CF4/(1 + 0.1)4 = 12 000/1.464 = 8 196.16
NPV は負なので、このプロジェクトは要求収益率より少なくしか稼ぎません。
8.NPV と IRR
答え: r* = 4.412 %
交差利率：2 つのプロジェクトの NPV が等しくなる割引率です。それはキャッシュフローの差（B − A）の IRR です。これより低い利率では、キャッシュフローが遅くて大きいプロジェクトの NPV が高くなり、これより高い利率ではもう一方が勝ちます。
キャッシュフローの差
ΔCF0 = −32 000 − (−30 000) = −2 000
ΔCF1 = 8 500 − 17 500 = −9 000
ΔCF2 = 12 000 − 10 000 = 2 000
ΔCF3 = 16 500 − 6 500 = 10 000
差の IRR
NPVΔ(4%) = 85.23
NPVΔ(5%) = −118.99
r* = 4.412%
確認：4.412% では両方の NPV が €1 643.63 です。