1公式と解法
貨幣の時間価値
- 将来価値
- FV = PV·(1 + i)n
- 現在価値
- PV = FV/(1 + i)n
- 年に複数の期間
- i = r/m, N = m·n
- 年金現価
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金終価
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
解き方
- すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
- 利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
- 一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
- 答えの符号と桁を確認します。
債券の価格と利回り
- 債券価格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年ごとの利払い
- C/2、y/2、2n 期
- 直接利回り
- C/P
- 価格と利回り
- 利回り上昇 → 価格下落
解き方
- 1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
- 価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
- 半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
- 確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。
CAPM と WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企業価値
- V = E + D
NPV と IRR
- 正味現在価値
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 均等なキャッシュフロー
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部収益率
- NPV = 0 となる r
- 判断
- NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用
解き方
- すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
- 各キャッシュフローを割り引きます：CFt/(1 + r)t。
- それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
- IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。
2演習問題
1.貨幣の時間価値ふつう
名目年利 3%、四半期複利で €20 000 を投資します。5 年後の投資の価値 FV を求めなさい。
PV = €20 0003% / 4n = 5
FV = €
2.貨幣の時間価値むずかしい
€200 000 のローンを、年 4.2%、月複利で 30 年間の元利均等の月払いで返済します。ローン期間全体で支払う利息の合計 I はいくらですか？
P = €200 0004.2% / 12N = 360
I = €
3.債券の価格と利回りふつう
額面 €1 000 の債券が、年 7% のクーポンを年 2 回に分けて半年ごとに支払い、7 年後に満期を迎えます。最終利回りは年 3.5% です。 この債券の価格 P を求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 7%YTM = 3.5%n = 7
P = €
4.債券の価格と利回りむずかしい
額面 €1 000、年クーポン 4% の債券が 9 年後に満期を迎え、€895 で売られています。最終利回り YTM をパーセントで求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 4%n = 9P = €895
YTM = %
5.CAPM と WACCふつう
ある企業は時価 €8 000 000 の株主資本と時価 €1 000 000 の負債をもっています。株主資本コストは 10%、税引前負債コストは 6%、税率は 21% です。WACC を求めなさい。
E = €8 000 000D = €1 000 000re = 10%rd = 6%T = 21%
WACC = %
6.CAPM と WACCむずかしい
ある会社の株式は 1 000 000 株で、€38.50 で取引されています。株主資本の簿価は €15 400 000 です。1 株あたり €1.40 の配当を支払ったところで、配当は年 4% 成長します。負債の時価は €23 100 000、税引前コストは 5% です。税率は 30% です。株主資本コストに配当成長モデルを使って、WACC を求めなさい。
N = 1 000 000P0 = €38.50株主資本の簿価 = €15 400 000D0 = €1.40g = 4%D = €23 100 000rd = 5%T = 30%
WACC = %
7.NPV と IRRふつう
ある機械の費用は今日 €40 000、耐用年数は 8 年、運転費は毎年 €4 000（各年末に支払い）です。資本コストは 12% です。等価年間費用 EAC を求めなさい。
C0 = €40 000M = €4 000n = 8r = 12%
EAC = €
8.NPV と IRRむずかしい
あるプロジェクトの費用は今日 €150 000 です。そのキャッシュフローは 1 年目の末に €27 500 で、6 年目の末の最後のキャッシュフローまで年 4% ずつ増加します。資本コストは 10% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。
C0 = €150 000CF1 = €27 500g = 4%n = 6r = 10%
NPV = €
3溶液
1.貨幣の時間価値
答え: FV = 23224 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
利率と期間数
i = r/m = 0.03/4 = 0.0075
N = m·n = 4·5 = 20
将来価値
FV = 20 000·(1 + 0.0075)20 = 20 000·1.161 = €23 223.68
2.貨幣の時間価値
答え: I = 152092 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
毎月の返済額
i = 0.0035, N = 360
A = 200 000·0.0035/(1 − (1 + 0.0035)−360) = €978.03
利息の総額
I = N·A − P = 360·978 − 200 000 = €152 092.37
3.債券の価格と利回り
答え: P = 1216 €
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
1 期あたり
C = €35.00, i = 0.0175, N = 14
クーポンの現在価値
€35.00·(1 − 0.7844)/0.0175 = €431.27
利回りがクーポンレートより低いので、債券は額面より高く（オーバーパーで）売られます。
4.債券の価格と利回り
答え: YTM = 5.511 %
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
利回りの方程式
€895 = €40·(1 − (1 + y)⁻⁹)/y + €1 000/(1 + y)⁹
数値的に解く
P(5%) = €928.92, P(6%) = €863.97
YTM = 5.511%
5.CAPM と WACC
答え: WACC = 9.416 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
ウェイト
V = €9 000 000, E/V = 0.8889, D/V = 0.1111
WACC
WACC = 0.8889·10% + 0.1111·6%·(1 − 0.21) = 9.416%
6.CAPM と WACC
答え: WACC = 6.176 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
株主資本コスト
D1 = 1.4·1.04 = €1.46
re = 1.456/38.5 + 0.04 = 7.782%
時価
E = 1 000 000·€38.50 = €38 500 000
V = €61 600 000, E/V = 0.625, D/V = 0.375
WACC
WACC = 0.625·7.782% + 0.375·5%·(1 − 0.3) = 6.176%
7.NPV と IRR
答え: EAC = 12052 €
等価年間費用：すべての費用の現在価値を、耐用期間にわたる毎年等しい金額（年金）に分けます：EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ)。耐用年数の異なる機械を比較できます。
年金現価係数
(1 − 1.12−8)/0.12 = 4.968
EAC
EAC = 8 052.11 + 4 000 = €12 052.11
8.NPV と IRR
答え: NPV = −19026 €
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
成長型年金の現在価値
((1.04)/(1.1))6 = 0.7142
PV = 27 500/(0.1 − 0.04)·(1 − 0.7142) = 130 973.52
NPV
NPV = 130 973.52 − 150 000 = −€19 026.48
NPV は負なので、このプロジェクトは要求収益率より少なくしか稼ぎません。