1公式と解法
貨幣の時間価値
- 将来価値
- FV = PV·(1 + i)n
- 現在価値
- PV = FV/(1 + i)n
- 年に複数の期間
- i = r/m, N = m·n
- 年金現価
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金終価
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
解き方
- すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
- 利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
- 一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
- 答えの符号と桁を確認します。
債券の価格と利回り
- 債券価格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年ごとの利払い
- C/2、y/2、2n 期
- 直接利回り
- C/P
- 価格と利回り
- 利回り上昇 → 価格下落
解き方
- 1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
- 価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
- 半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
- 確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。
CAPM と WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企業価値
- V = E + D
NPV と IRR
- 正味現在価値
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 均等なキャッシュフロー
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部収益率
- NPV = 0 となる r
- 判断
- NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用
解き方
- すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
- 各キャッシュフローを割り引きます：CFt/(1 + r)t。
- それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
- IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。
2演習問題
1.貨幣の時間価値ふつう
€1 000 を年 3%、連続複利で投資します。13 年後の価値 FV を求めなさい。
PV = €1 000r = 3%t = 13
FV = €
2.貨幣の時間価値むずかしい
25 年間、毎月末に €100 を積み立てます。口座の利率は年 5.4%、月複利です。最後にいくら貯まりますか？FV を求めなさい。
A = €1005.4% / 12N = 300
FV = €
3.債券の価格と利回りふつう
額面 €1 000 の債券が、年 5% のクーポンを年 2 回に分けて半年ごとに支払い、11 年後に満期を迎えます。最終利回りは年 2.5% です。 この債券の価格 P を求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 5%YTM = 2.5%n = 11
P = €
4.債券の価格と利回りむずかしい
額面 €1 000 の債券が年 4.5% のクーポンを半年ごとの 2 回に分けて支払い、8 年後に満期を迎えます。価格は €967 です。最終利回り YTM を年率（半年利回りの 2 倍）としてパーセントで求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 4.5% (2×)n = 8P = €967
YTM = %
5.CAPM と WACCふつう
ある会社は、価値 €12 000 000 の普通株、価値 €1 000 000 の優先株、価値 €6 000 000 の負債で資金調達しています。株主資本コストは 9%、優先株のコストは 7.5%、税引前負債コストは 3% です。税率は 21% です。WACC を求めなさい。
E = €12 000 000Ps = €1 000 000D = €6 000 000re = 9%rp = 7.5%rd = 3%T = 21%
WACC = %
6.CAPM と WACCむずかしい
ある企業は1 株 €47.00 の株式 2 000 000 株と、1 口 €1 050 で取引されている債券 20 000 口をもっています。税引前負債コストは 6%、税率は 21% です。株式のベータは 0.9、無リスク金利は 1%、市場収益率は 5.5% です。WACC を求めなさい。
β = 0.9rf = 1%rm = 5.5%rd = 6%T = 21%
WACC = %
7.NPV と IRRふつう
ある機械の費用は今日 €30 000、耐用年数は 5 年、運転費は毎年 €1 500（各年末に支払い）です。資本コストは 8% です。等価年間費用 EAC を求めなさい。
C0 = €30 000M = €1 500n = 5r = 8%
EAC = €
8.NPV と IRRむずかしい
あるプロジェクトは €40 000 かかり、1 年目から 3 年目の各年末に €29 000, €29 500, €25 500 を生みます。内部収益率 IRR をパーセントで求めなさい。
CF0 = −40 000CF1 = 29 000CF2 = 29 500CF3 = 25 500
IRR = %
3溶液
1.貨幣の時間価値
答え: FV = 1477 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
指数
r·t = 0.03·13 = 0.39
e0.39 = 1.477
将来価値
FV = 1 000·1.477 = €1 476.98
2.貨幣の時間価値
答え: FV = 63239 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
月利と積立回数
i = 0.054000000000000006/12 = 0.0045
N = 12·25 = 300
積立金の将来価値
FV = A·((1 + i)N − 1)/i = 100·(3.846 − 1)/0.0045 = €63 239.14
自分で払い込んだのは €30 000。残りは利息です。
3.債券の価格と利回り
答え: P = 1239 €
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
1 期あたり
C = €25.00, i = 0.0125, N = 22
クーポンの現在価値
€25.00·(1 − 0.7609)/0.0125 = €478.26
利回りがクーポンレートより低いので、債券は額面より高く（オーバーパーで）売られます。
4.債券の価格と利回り
答え: YTM = 5.006 %
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
5.CAPM と WACC
答え: WACC = 6.827 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
ウェイト
V = 12 000 000 + 1 000 000 + 6 000 000 = €19 000 000
E/V = 0.6316, Ps/V = 0.05263, D/V = 0.3158
WACC
WACC = 0.6316·9% + 0.05263·7.5% + 0.3158·3%·(1 − 0.21) = 6.827%
6.CAPM と WACC
答え: WACC = 4.993 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
時価
E = 2 000 000·€47.00 = €94 000 000
D = 20 000·€1 050 = €21 000 000
株主資本コスト（CAPM）
re = 1% + 0.9·4.5% = 5.05%
ウェイト
V = €115 000 000, E/V = 0.8174, D/V = 0.1826
WACC
WACC = 0.8174·5.05% + 0.1826·6%·(1 − 0.21) = 4.993%
7.NPV と IRR
答え: EAC = 9014 €
等価年間費用：すべての費用の現在価値を、耐用期間にわたる毎年等しい金額（年金）に分けます：EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ)。耐用年数の異なる機械を比較できます。
年金現価係数
(1 − 1.08−5)/0.08 = 3.993
EAC
EAC = 7 513.69 + 1 500 = €9 013.69
8.NPV と IRR
答え: IRR = 50 %
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
IRR を挟み込む
利率が上がると NPV は下がるので、IRR は NPV が正の利率と負の利率の間にあります。
NPV(45%) = 2 395.34
NPV(50%) = −0.00
絞り込む
線形補間で最初の見積もりが得られます。これを繰り返す（または電卓の IRR 機能を使う）と正確な利率が得られます。
IRR ≈ 45 + 5·2 395.34/(2 395.34 − (−0.00)) = 50%
正確な値: NPV(50%) = 0 → IRR = 50%