1公式と解法
貨幣の時間価値
- 将来価値
- FV = PV·(1 + i)n
- 現在価値
- PV = FV/(1 + i)n
- 年に複数の期間
- i = r/m, N = m·n
- 年金現価
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金終価
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
解き方
- すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
- 利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
- 一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
- 答えの符号と桁を確認します。
債券の価格と利回り
- 債券価格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年ごとの利払い
- C/2、y/2、2n 期
- 直接利回り
- C/P
- 価格と利回り
- 利回り上昇 → 価格下落
解き方
- 1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
- 価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
- 半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
- 確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。
CAPM と WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企業価値
- V = E + D
NPV と IRR
- 正味現在価値
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 均等なキャッシュフロー
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部収益率
- NPV = 0 となる r
- 判断
- NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用
解き方
- すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
- 各キャッシュフローを割り引きます：CFt/(1 + r)t。
- それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
- IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。
2演習問題
1.貨幣の時間価値ふつう
€1 000 を年 5%、連続複利で投資します。7 年後の価値 FV を求めなさい。
PV = €1 000r = 5%t = 7
FV = €
2.貨幣の時間価値むずかしい
€15 000 のローンを、年 3%、月複利で 6 年間の元利均等の月払いで返済します。ローン期間全体で支払う利息の合計 I はいくらですか？
P = €15 0003% / 12N = 72
I = €
3.債券の価格と利回りふつう
最終利回りが 3% のときに、残存期間 11 年の債券（額面 €1 000、年間クーポン 5%）を購入します。1 年後、最初のクーポンを受け取った直後に、最終利回りが 4% のときに売却します。保有期間利回り HPR をパーセントで求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 5%n = 11y0 = 3%y1 = 4%
HPR = %
4.債券の価格と利回りむずかしい
額面 €1 000、年クーポン 6% の債券が 3 年後に満期を迎え、€1 025 で売られています。最終利回り YTM をパーセントで求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 6%n = 3P = €1 025
YTM = %
5.CAPM と WACCふつう
ある企業は時価 €8 000 000 の株主資本と時価 €6 000 000 の負債をもっています。株主資本コストは 12%、税引前負債コストは 6%、税率は 30% です。WACC を求めなさい。
E = €8 000 000D = €6 000 000re = 12%rd = 6%T = 30%
WACC = %
6.CAPM と WACCむずかしい
ある会社の株式のベータは、現在の負債資本比率 0.25 で 1.5 です。負債資本比率を 1.25 に引き上げる計画です。税率は 20%、無リスク金利は 1.5%、市場リスクプレミアムは 6% です。変更後の株主資本コスト re を求めなさい。
βL = 1.5D/E1 = 0.25D/E2 = 1.25T = 20%rf = 1.5%rm − rf = 6%
re = %
7.NPV と IRRふつう
€45 000 の投資が、1 年目から 4 年目の各年末に次のキャッシュフローを生みます：€20 000, €18 000, €15 000, €19 000。資本コストは 5% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。
r = 5%CF0 = −45 000CF1 = 20 000CF2 = 18 000CF3 = 15 000CF4 = 19 000
NPV = €
8.NPV と IRRむずかしい
あるプロジェクトは €10 000 かかり、1 年目から 2 年目の各年末に €5 000, €7 500 を生みます。内部収益率 IRR をパーセントで求めなさい。
CF0 = −10 000CF1 = 5 000CF2 = 7 500
IRR = %
3溶液
1.貨幣の時間価値
答え: FV = 1419 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
指数
r·t = 0.05·7 = 0.35
e0.35 = 1.419
将来価値
FV = 1 000·1.419 = €1 419.07
2.貨幣の時間価値
答え: I = 1409 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
毎月の返済額
i = 0.0025, N = 72
A = 15 000·0.0025/(1 − (1 + 0.0025)−72) = €227.91
利息の総額
I = N·A − P = 72·227.9 − 15 000 = €1 409.17
3.債券の価格と利回り
答え: HPR = −4.552 %
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
購入価格
C = €50.00, i = 0.03, N = 11
€50.00·(1 − 0.7224)/0.03 + €1 000·0.7224 = €462.63 + €722.42 = €1 185.05
売却価格
C = €50.00, i = 0.04, N = 10
€50.00·(1 − 0.6756)/0.04 + €1 000·0.6756 = €405.54 + €675.56 = €1 081.11
保有期間利回り
HPR = (50 + 1 081.11 − 1 185.05)/1 185.05 = −4.552%
4.債券の価格と利回り
答え: YTM = 5.081 %
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
利回りの方程式
€1 025 = €60·(1 − (1 + y)⁻³)/y + €1 000/(1 + y)³
数値的に解く
P(5%) = €1 027.23, P(6%) = €1 000.00
YTM = 5.081%
5.CAPM と WACC
答え: WACC = 8.657 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
ウェイト
V = €14 000 000, E/V = 0.5714, D/V = 0.4286
WACC
WACC = 0.5714·12% + 0.4286·6%·(1 − 0.3) = 8.657%
6.CAPM と WACC
答え: re = 16.5 %
レバードベータ（ハマダの式）：負債があると株式のリスクは高まります。βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E) で、βU は負債のない事業のベータです。ベータを別の資本構成に移すには、まずアンレバーし、次に新しい D/E でリレバーします。
ベータをアンレバーする
βU = 1.5/(1 + 0.8·0.25) = 1.25
新しい D/E でリレバーする
βL = 1.25·(1 + 0.8·1.25) = 2.5
株主資本コスト（CAPM）
re = 1.5% + 2.5·6% = 16.5%
7.NPV と IRR
答え: NPV = 18963 €
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
各キャッシュフローの現在価値
CF0 = −45 000
CF1/(1 + 0.05)1 = 20 000/1.05 = 19 047.62
CF2/(1 + 0.05)2 = 18 000/1.103 = 16 326.53
CF3/(1 + 0.05)3 = 15 000/1.158 = 12 957.56
CF4/(1 + 0.05)4 = 19 000/1.216 = 15 631.35
NPV は正なので、このプロジェクトは要求収益率より多く稼ぎます。
8.NPV と IRR
答え: IRR = 15.14 %
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
IRR を挟み込む
利率が上がると NPV は下がるので、IRR は NPV が正の利率と負の利率の間にあります。
NPV(15%) = 18.90
NPV(20%) = −625.00
絞り込む
線形補間で最初の見積もりが得られます。これを繰り返す（または電卓の IRR 機能を使う）と正確な利率が得られます。
IRR ≈ 15 + 5·18.90/(18.90 − (−625.00)) = 15.15%
正確な値: NPV(15.14%) = 0 → IRR = 15.14%