投資と企業価値評価：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

貨幣の時間価値

将来価値: FV = PV·(1 + i)ⁿ
現在価値: PV = FV/(1 + i)ⁿ
年に複数の期間: i = r/m, N = m·n
年金現価: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金終価: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

解き方

すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
答えの符号と桁を確認します。

債券の価格と利回り

債券価格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年ごとの利払い: C/2、y/2、2n 期
直接利回り: C/P
価格と利回り: 利回り上昇 → 価格下落

解き方

1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。

CAPM と WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企業価値: V = E + D

NPV と IRR

正味現在価値: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
均等なキャッシュフロー: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部収益率: NPV = 0 となる r
判断: NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用

解き方

すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
各キャッシュフローを割り引きます：CF_t/(1 + r)^t。
それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。

2演習問題

1.貨幣の時間価値ふつう

6 年後に €40 000 が必要です。口座の利率は年 2%、月複利です。今日いくら預ければよいですか？現在価値 PV を求めなさい。

FV = €40 0002% / 12n = 6

PV = €

2.貨幣の時間価値むずかしい

€200 000 のローンを 30 年間、毎月の元利均等払いで返済します。金利は年 3%、月複利です。毎月の返済額 A を求めなさい。

P = €200 0003% / 12N = 360

A = €

3.債券の価格と利回りふつう

額面 €1 000 の債券が、年 6% のクーポンを年 2 回に分けて半年ごとに支払い、10 年後に満期を迎えます。最終利回りは年 9% です。この債券の価格 P を求めなさい。

F = €1 000クーポンレート = 6%YTM = 9%n = 10

P = €

4.債券の価格と利回りむずかしい

額面 €1 000、年クーポン 3% の債券が 5 年後に満期を迎え、€1 095 で売られています。最終利回り YTM をパーセントで求めなさい。

F = €1 000クーポンレート = 3%n = 5P = €1 095

YTM = %

5.CAPM と WACCふつう

ある会社の株主資本の価値は €6 000 000、負債の価値は €4 000 000 です。WACC は 7.26%、税引前負債コストは 4%、税率は 21% です。株主資本コスト r_e を求めなさい。

E = €6 000 000D = €4 000 000WACC = 7.26%r_d = 4%T = 21%

r_e = %

6.CAPM と WACCむずかしい

ある企業は1 株 €40.50 の株式 1 000 000 株と、1 口 €960 で取引されている債券 40 000 口をもっています。税引前負債コストは 5%、税率は 21% です。株式のベータは 1.5、無リスク金利は 2%、市場収益率は 6% です。WACC を求めなさい。

β = 1.5r_f = 2%r_m = 6%r_d = 5%T = 21%

WACC = %

7.NPV と IRRふつう

ある機械の費用は今日 €60 000、耐用年数は 10 年、運転費は毎年 €4 000（各年末に支払い）です。資本コストは 8% です。等価年間費用 EAC を求めなさい。

C₀ = €60 000M = €4 000n = 10r = 8%

EAC = €

8.NPV と IRRむずかしい

あるプロジェクトは €25 000 かかり、1 年目から 2 年目の各年末に €18 500, €14 500 を生みます。内部収益率 IRR をパーセントで求めなさい。

CF₀ = −25 000CF₁ = 18 500CF₂ = 14 500

IRR = %

3溶液

1.貨幣の時間価値

答え: PV = 35480 €

貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)ⁿ のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。

利率と期間数

i = 0.02/12 = 0.001667

N = 12·6 = 72

現在価値

PV = FV/(1 + i)^N = 40 000/1.127 = €35 480.36

答え

PV = €35 480.36

2.貨幣の時間価値

答え: A = 843.2 €

月利と返済回数

i = 0.03/12 = 0.0025

N = 12·30 = 360

返済額

等額 A の支払い N 回の現在価値は A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i です。これを借入額と等しくおいて A を求めます。

(1 + i)^−N = 0.407

A = 200 000·0.0025/(1 − 0.407) = €843.21

答え

A = €843.21

3.債券の価格と利回り

答え: P = 804.9 €

債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。

1 期あたり

C = €30.00, i = 0.045, N = 20

クーポンの現在価値

€30.00·(1 − 0.4146)/0.045 = €390.24

額面の現在価値

€1 000·0.4146 = €414.64

価格

P = €804.88

答え

P = €804.88

利回りがクーポンレートより高いので、債券は額面より安く（アンダーパーで）売られます。

4.債券の価格と利回り

答え: YTM = 1.04 %

利回りの方程式

€1 095 = €30·(1 − (1 + y)⁻⁵)/y + €1 000/(1 + y)⁵

数値的に解く

P(1%) = €1 097.07, P(2%) = €1 047.13

YTM = 1.04%

答え

YTM = 1.04%

5.CAPM と WACC

答え: r_e = 9.993 %

資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。

ウェイト

V = €10 000 000, E/V = 0.6, D/V = 0.4

WACC の負債の部分

0.4·4%·(1 − 0.21) = 1.264%

株主資本コスト

r_e = (7.26% − 1.264%)/0.6 = 9.993%

答え

r_e = 9.993%

6.CAPM と WACC

答え: WACC = 6.029 %

時価

E = 1 000 000·€40.50 = €40 500 000

D = 40 000·€960 = €38 400 000

株主資本コスト（CAPM）

r_e = 2% + 1.5·4% = 8%

ウェイト

V = €78 900 000, E/V = 0.5133, D/V = 0.4867

WACC

WACC = 0.5133·8% + 0.4867·5%·(1 − 0.21) = 6.029%

答え

WACC = 6.029%

7.NPV と IRR

答え: EAC = 12942 €

等価年間費用：すべての費用の現在価値を、耐用期間にわたる毎年等しい金額（年金）に分けます：EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ)。耐用年数の異なる機械を比較できます。

年金現価係数

(1 − 1.08⁻¹⁰)/0.08 = 6.71

年換算した購入価格

60 000/6.71 = 8 941.77

EAC

EAC = 8 941.77 + 4 000 = €12 941.77

答え

EAC = €12 941.77

8.NPV と IRR

答え: IRR = 21.67 %

正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。

IRR を挟み込む

利率が上がると NPV は下がるので、IRR は NPV が正の利率と負の利率の間にあります。

NPV(20%) = 486.11

NPV(25%) = −920.00

絞り込む

線形補間で最初の見積もりが得られます。これを繰り返す（または電卓の IRR 機能を使う）と正確な利率が得られます。

IRR ≈ 20 + 5·486.11/(486.11 − (−920.00)) = 21.73%

正確な値: NPV(21.67%) = 0 → IRR = 21.67%

答え

IRR = 21.67%

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