投資と企業価値評価：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

貨幣の時間価値

将来価値: FV = PV·(1 + i)ⁿ
現在価値: PV = FV/(1 + i)ⁿ
年に複数の期間: i = r/m, N = m·n
年金現価: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金終価: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

解き方

すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
答えの符号と桁を確認します。

債券の価格と利回り

債券価格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年ごとの利払い: C/2、y/2、2n 期
直接利回り: C/P
価格と利回り: 利回り上昇 → 価格下落

解き方

1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。

CAPM と WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企業価値: V = E + D

NPV と IRR

正味現在価値: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
均等なキャッシュフロー: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部収益率: NPV = 0 となる r
判断: NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用

解き方

すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
各キャッシュフローを割り引きます：CF_t/(1 + r)^t。
それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。

2演習問題

1.貨幣の時間価値ふつう

名目年利 3.6%、月複利で €12 000 を投資します。7 年後の投資の価値 FV を求めなさい。

PV = €12 0003.6% / 12n = 7

FV = €

2.貨幣の時間価値むずかしい

7 年間、毎年初めに €6 000 を預け入れます。最初の預け入れは今日です。口座の利率は年 5% です。7 年目の末に口座にはいくらありますか？FV を求めなさい。

A = €6 000i = 5%n = 7

FV = €

3.債券の価格と利回りふつう

最終利回りが 7% のときに、残存期間 9 年の債券（額面 €1 000、年間クーポン 4.5%）を購入します。1 年後、最初のクーポンを受け取った直後に、最終利回りが 8% のときに売却します。保有期間利回り HPR をパーセントで求めなさい。

F = €1 000クーポンレート = 4.5%n = 9y₀ = 7%y₁ = 8%

HPR = %

4.債券の価格と利回りむずかしい

額面 €1 000、年クーポン 5% の債券が 5 年後に満期を迎え、€1 045 で売られています。最終利回り YTM をパーセントで求めなさい。

F = €1 000クーポンレート = 5%n = 5P = €1 045

YTM = %

5.CAPM と WACCふつう

ある会社は、価値 €10 000 000 の普通株、価値 €2 000 000 の優先株、価値 €6 000 000 の負債で資金調達しています。株主資本コストは 12%、優先株のコストは 8%、税引前負債コストは 5% です。税率は 20% です。WACC を求めなさい。

E = €10 000 000P_s = €2 000 000D = €6 000 000r_e = 12%r_p = 8%r_d = 5%T = 20%

WACC = %

6.CAPM と WACCむずかしい

ある会社の株主資本の時価は €10 000 000、株主資本コストは 10% です。負債は 5 000 枚の債券（額面 €1 000、年間クーポン 7%、残存期間 8 年）からなり、1 枚 €1 095 で取引されています。税率は 25% です。債券の最終利回りを税引前負債コストとして、WACC を求めなさい。

E = €10 000 000r_e = 10%債券: 5 000 × €1 095クーポンレート = 7%n = 8T = 25%

WACC = %

7.NPV と IRRふつう

ある機械の費用は今日 €40 000、耐用年数は 7 年、運転費は毎年 €5 000（各年末に支払い）です。資本コストは 12% です。等価年間費用 EAC を求めなさい。

C₀ = €40 000M = €5 000n = 7r = 12%

EAC = €

8.NPV と IRRむずかしい

あるプロジェクトは €50 000 かかり、1 年目から 2 年目の各年末に €24 000, €36 500 を生みます。内部収益率 IRR をパーセントで求めなさい。

CF₀ = −50 000CF₁ = 24 000CF₂ = 36 500

IRR = %

3溶液

1.貨幣の時間価値

答え: FV = 15433 €

貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)ⁿ のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。

利率と期間数

i = r/m = 0.036000000000000004/12 = 0.003

N = m·n = 12·7 = 84

将来価値

FV = 12 000·(1 + 0.003)⁸⁴ = 12 000·1.286 = €15 433.33

答え

FV = €15 433.33

2.貨幣の時間価値

答え: FV = 51295 €

通常の年金係数

((1 + 0.05)⁷ − 1)/0.05 = 8.142

期首払い年金

各預け入れは 1 年長く運用されます。

FV = 6 000·8.142·1.05 = €51 294.65

答え

FV = €51 294.65

3.債券の価格と利回り

答え: HPR = 0.8062 %

債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。

購入価格

C = €45.00, i = 0.07, N = 9

€45.00·(1 − 0.5439)/0.07 + €1 000·0.5439 = €293.19 + €543.93 = €837.12

売却価格

C = €45.00, i = 0.08, N = 8

€45.00·(1 − 0.5403)/0.08 + €1 000·0.5403 = €258.60 + €540.27 = €798.87

保有期間利回り

HPR = (45 + 798.87 − 837.12)/837.12 = 0.8062%

答え

HPR = 0.8062%

4.債券の価格と利回り

答え: YTM = 3.989 %

利回りの方程式

€1 045 = €50·(1 − (1 + y)⁻⁵)/y + €1 000/(1 + y)⁵

数値的に解く

P(3%) = €1 091.59, P(4%) = €1 044.52

YTM = 3.989%

答え

YTM = 3.989%

5.CAPM と WACC

答え: WACC = 8.889 %

資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。

ウェイト

V = 10 000 000 + 2 000 000 + 6 000 000 = €18 000 000

E/V = 0.5556, P_s/V = 0.1111, D/V = 0.3333

WACC

WACC = 0.5556·12% + 0.1111·8% + 0.3333·5%·(1 − 0.2) = 8.889%

答え

WACC = 8.889%

6.CAPM と WACC

答え: WACC = 7.922 %

負債コスト（YTM）

1095 = 70·(1 − (1 + y)⁻⁸)/y + 1000/(1 + y)⁸

y = 5.5%

時価

D = 5 000·€1 095 = €5 475 000

V = €15 475 000, E/V = 0.6462, D/V = 0.3538

WACC

WACC = 0.6462·10% + 0.3538·5.5%·(1 − 0.25) = 7.922%

答え

WACC = 7.922%

7.NPV と IRR

答え: EAC = 13765 €

等価年間費用：すべての費用の現在価値を、耐用期間にわたる毎年等しい金額（年金）に分けます：EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ)。耐用年数の異なる機械を比較できます。

年金現価係数

(1 − 1.12⁻⁷)/0.12 = 4.564

年換算した購入価格

40 000/4.564 = 8 764.71

EAC

EAC = 8 764.71 + 5 000 = €13 764.71

答え

EAC = €13 764.71

8.NPV と IRR

答え: IRR = 12.75 %

正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。

IRR を挟み込む

利率が上がると NPV は下がるので、IRR は NPV が正の利率と負の利率の間にあります。

NPV(10%) = 1 983.47

NPV(15%) = −1 531.19

絞り込む

線形補間で最初の見積もりが得られます。これを繰り返す（または電卓の IRR 機能を使う）と正確な利率が得られます。

IRR ≈ 10 + 5·1 983.47/(1 983.47 − (−1 531.19)) = 12.82%

正確な値: NPV(12.75%) = 0 → IRR = 12.75%

答え

IRR = 12.75%

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