1公式と解法
貨幣の時間価値
- 将来価値
- FV = PV·(1 + i)n
- 現在価値
- PV = FV/(1 + i)n
- 年に複数の期間
- i = r/m, N = m·n
- 年金現価
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金終価
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
解き方
- すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
- 利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
- 一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
- 答えの符号と桁を確認します。
債券の価格と利回り
- 債券価格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年ごとの利払い
- C/2、y/2、2n 期
- 直接利回り
- C/P
- 価格と利回り
- 利回り上昇 → 価格下落
解き方
- 1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
- 価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
- 半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
- 確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。
CAPM と WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企業価値
- V = E + D
NPV と IRR
- 正味現在価値
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 均等なキャッシュフロー
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部収益率
- NPV = 0 となる r
- 判断
- NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用
解き方
- すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
- 各キャッシュフローを割り引きます：CFt/(1 + r)t。
- それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
- IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。
2演習問題
1.貨幣の時間価値ふつう
ある不動産は来年 €8 000 の純賃料を生むと見込まれています。賃料は永久に年 3% ずつ増加すると見込まれています。要求収益率は年 8% です。この不動産の今日の価値 PV を求めなさい。
C1 = €8 000g = 3%r = 8%
PV = €
2.貨幣の時間価値むずかしい
€12 000 のローンを 5 年間、毎月の元利均等払いで返済します。金利は年 4.8%、月複利です。毎月の返済額 A を求めなさい。
P = €12 0004.8% / 12N = 60
A = €
3.債券の価格と利回りふつう
額面 €1 000 の債券が、年 4% のクーポンを年 2 回に分けて半年ごとに支払い、7 年後に満期を迎えます。最終利回りは年 8% です。 この債券の価格 P を求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 4%YTM = 8%n = 7
P = €
4.債券の価格と利回りむずかしい
額面 €1 000、年クーポン 8% の債券が 5 年後に満期を迎え、€1 085 で売られています。最終利回り YTM をパーセントで求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 8%n = 5P = €1 085
YTM = %
5.CAPM と WACCふつう
ある会社の負債資本比率（時価）は 0.25 です。株主資本コストは 9%、税引前負債コストは 3%、税率は 21% です。WACC を求めなさい。
D/E = 0.25re = 9%rd = 3%T = 21%
WACC = %
6.CAPM と WACCむずかしい
ある企業は1 株 €30.00 の株式 2 000 000 株と、1 口 €960 で取引されている債券 10 000 口をもっています。税引前負債コストは 6%、税率は 25.8% です。株式のベータは 0.9、無リスク金利は 1%、市場収益率は 7.5% です。WACC を求めなさい。
β = 0.9rf = 1%rm = 7.5%rd = 6%T = 25.8%
WACC = %
7.NPV と IRRふつう
ある機械の費用は今日 €100 000 です。6 年間、毎年末に €18 500 を生み、その後 €25 000 で売却できます。資本コストは 12% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。
C0 = €100 000CF = €18 500S = €25 000n = 6r = 12%
NPV = €
8.NPV と IRRむずかしい
あるプロジェクトは €10 000 かかり、1 年目から 2 年目の各年末に €6 500, €5 500 を生みます。内部収益率 IRR をパーセントで求めなさい。
CF0 = −10 000CF1 = 6 500CF2 = 5 500
IRR = %
3溶液
1.貨幣の時間価値
答え: PV = 160000 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
成長型永久年金
PV = C1/(r − g) = 8 000/(0.08 − 0.03) = 8 000/0.05 = €160 000.00
2.貨幣の時間価値
答え: A = 225.4 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
月利と返済回数
i = 0.048/12 = 0.004
N = 12·5 = 60
返済額
等額 A の支払い N 回の現在価値は A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i です。これを借入額と等しくおいて A を求めます。
(1 + i)−N = 0.787
A = 12 000·0.004/(1 − 0.787) = €225.36
3.債券の価格と利回り
答え: P = 788.7 €
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
1 期あたり
C = €20.00, i = 0.04, N = 14
クーポンの現在価値
€20.00·(1 − 0.5775)/0.04 = €211.26
利回りがクーポンレートより高いので、債券は額面より安く（アンダーパーで）売られます。
4.債券の価格と利回り
答え: YTM = 5.983 %
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
利回りの方程式
€1 085 = €80·(1 − (1 + y)⁻⁵)/y + €1 000/(1 + y)⁵
数値的に解く
P(5%) = €1 129.88, P(6%) = €1 084.25
YTM = 5.983%
5.CAPM と WACC
答え: WACC = 7.674 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
D/E からの重み
E/V = 1/(1 + 0.25) = 0.8
D/V = 0.25/(1 + 0.25) = 0.2
WACC
WACC = 0.8·9% + 0.2·3%·(1 − 0.21) = 7.674%
6.CAPM と WACC
答え: WACC = 6.519 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
時価
E = 2 000 000·€30.00 = €60 000 000
D = 10 000·€960 = €9 600 000
株主資本コスト（CAPM）
re = 1% + 0.9·6.5% = 6.85%
ウェイト
V = €69 600 000, E/V = 0.8621, D/V = 0.1379
WACC
WACC = 0.8621·6.85% + 0.1379·6%·(1 − 0.258) = 6.519%
7.NPV と IRR
答え: NPV = −11273 €
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
NPV
NPV = −100 000 + 76 061.04 + 12 665.78 = −€11 273.19
8.NPV と IRR
答え: IRR = 13.47 %
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
IRR を挟み込む
利率が上がると NPV は下がるので、IRR は NPV が正の利率と負の利率の間にあります。
NPV(10%) = 454.55
NPV(15%) = −189.04
絞り込む
線形補間で最初の見積もりが得られます。これを繰り返す（または電卓の IRR 機能を使う）と正確な利率が得られます。
IRR ≈ 10 + 5·454.55/(454.55 − (−189.04)) = 13.53%
正確な値: NPV(13.47%) = 0 → IRR = 13.47%