投資と企業価値評価：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

貨幣の時間価値

将来価値: FV = PV·(1 + i)ⁿ
現在価値: PV = FV/(1 + i)ⁿ
年に複数の期間: i = r/m, N = m·n
年金現価: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金終価: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

解き方

すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
答えの符号と桁を確認します。

債券の価格と利回り

債券価格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年ごとの利払い: C/2、y/2、2n 期
直接利回り: C/P
価格と利回り: 利回り上昇 → 価格下落

解き方

1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。

CAPM と WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企業価値: V = E + D

NPV と IRR

正味現在価値: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
均等なキャッシュフロー: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部収益率: NPV = 0 となる r
判断: NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用

解き方

すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
各キャッシュフローを割り引きます：CF_t/(1 + r)^t。
それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。

2演習問題

1.貨幣の時間価値ふつう

€2 000 を年 3%、連続複利で投資します。16 年後の価値 FV を求めなさい。

PV = €2 000r = 3%t = 16

FV = €

2.貨幣の時間価値むずかしい

年 2.4%、月複利で €8 000 を借り、毎月末に €350 を返済します。ローンを完済するまでに何か月かかりますか（最後の返済額は少なくてもよい）？返済回数 N を答えなさい。

P = €8 000A = €3502.4% / 12

N = 回

3.債券の価格と利回りふつう

額面 €1 000 の債券が、年 4.5% のクーポンを年 2 回に分けて半年ごとに支払い、4 年後に満期を迎えます。最終利回りは年 4% です。この債券の価格 P を求めなさい。

F = €1 000クーポンレート = 4.5%YTM = 4%n = 4

P = €

4.債券の価格と利回りむずかしい

ある債券が €950 で取引され、最終利回りは 5%（年複利）、マコーレー・デュレーションは 8 年です。利回りが 50 ベーシスポイント低下した場合の新しい価格 P を、修正デュレーションを使って推定しなさい。

P₀ = €950y = 5%D = 8Δy = −50 bp

P = €

5.CAPM と WACCふつう

ある企業は時価 €12 000 000 の株主資本と時価 €4 000 000 の負債をもっています。株主資本コストは 13%、税引前負債コストは 3%、税率は 20% です。WACC を求めなさい。

E = €12 000 000D = €4 000 000r_e = 13%r_d = 3%T = 20%

WACC = %

6.CAPM と WACCむずかしい

ある会社の株式のベータは、現在の負債資本比率 0.4 で 1.3 です。負債資本比率を 1.25 に引き上げる計画です。税率は 25%、無リスク金利は 1.5%、市場リスクプレミアムは 4.5% です。変更後の株主資本コスト r_e を求めなさい。

β_L = 1.3D/E₁ = 0.4D/E₂ = 1.25T = 25%r_f = 1.5%r_m − r_f = 4.5%

r_e = %

7.NPV と IRRふつう

ある機械の費用は今日 €50 000 です。8 年間、毎年末に €7 000 を生み、その後 €5 000 で売却できます。資本コストは 10% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。

C₀ = €50 000CF = €7 000S = €5 000n = 8r = 10%

NPV = €

8.NPV と IRRむずかしい

あるプロジェクトの費用は €50 000 で、1 年目から 3 年目の各年末に €29 000, €21 000, €15 000 を生みます。キャッシュフローは資本コスト 12% で再投資できます。修正内部収益率 MIRR をパーセントで求めなさい。

r = 12%CF₀ = −50 000CF₁ = 29 000CF₂ = 21 000CF₃ = 15 000

MIRR = %

3溶液

1.貨幣の時間価値

答え: FV = 3232 €

貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)ⁿ のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。

指数

r·t = 0.03·16 = 0.48

e^0.48 = 1.616

将来価値

FV = 2 000·1.616 = €3 232.15

答え

FV = €3 232.15

2.貨幣の時間価値

答え: N = 24 回

年金の公式を変形する

i = 0.002

(1 + i)^−N = 1 − 8 000·0.002/350 = 0.9543

対数を使って解く

N = −ln(0.9543)/ln(1.002) = 23.42

返済回数を整数に切り上げる

23 回の満額返済の後にわずかな残高が残り、最後の少額の返済でそれを完済します。

N = 24

答え

N = 24 回

3.債券の価格と利回り

答え: P = 1018 €

債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。

1 期あたり

C = €22.50, i = 0.02, N = 8

クーポンの現在価値

€22.50·(1 − 0.8535)/0.02 = €164.82

額面の現在価値

€1 000·0.8535 = €853.49

価格

P = €1 018.31

答え

P = €1 018.31

利回りがクーポンレートより低いので、債券は額面より高く（オーバーパーで）売られます。

4.債券の価格と利回り

答え: P = 986.2 €

デュレーション：マコーレー・デュレーションは、キャッシュフローの現在価値を重みとした、債券がキャッシュフローを支払う時点の加重平均です：D = Σ t·PVₜ/P。修正デュレーション D/(1 + y) は、利回りがわずかに変化したときの価格変化率を推定します：%ΔP ≈ −D_mod·Δy。

修正デュレーション

D_mod = 8/1.05 = 7.619

推定価格変化

%ΔP ≈ −7.619·(−0.005) = 3.81%

P ≈ 950·(1 + 0.0381) = €986.19

答え

P = €986.19

デュレーションは線形の推定です。利回りの変化が大きいと、コンベクシティにより実際の価格は少し高くなります。

5.CAPM と WACC

答え: WACC = 10.35 %

資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。

ウェイト

V = €16 000 000, E/V = 0.75, D/V = 0.25

WACC

WACC = 0.75·13% + 0.25·3%·(1 − 0.2) = 10.35%

答え

WACC = 10.35%

6.CAPM と WACC

答え: r_e = 10.22 %

レバードベータ（ハマダの式）：負債があると株式のリスクは高まります。β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E) で、β_U は負債のない事業のベータです。ベータを別の資本構成に移すには、まずアンレバーし、次に新しい D/E でリレバーします。

ベータをアンレバーする

β_U = 1.3/(1 + 0.75·0.4) = 1

新しい D/E でリレバーする

β_L = 1·(1 + 0.75·1.25) = 1.938

株主資本コスト（CAPM）

r_e = 1.5% + 1.938·4.5% = 10.22%

答え

r_e = 10.22%

7.NPV と IRR

答え: NPV = −10323 €

正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。

毎年のキャッシュフローの現在価値

7 000·5.335 = 37 344.48

残存価値の現在価値

5 000/2.144 = 2 332.54

NPV

NPV = −50 000 + 37 344.48 + 2 332.54 = −€10 322.98

答え

NPV = −€10 322.98

8.NPV と IRR

答え: MIRR = 14.42 %

修正 IRR：各流入を再投資利率（通常は資本コスト）でプロジェクトの終わりまで複利計算し、終価 TV を求めます。MIRR は初期投資を TV に変える利率です：MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1。

流入の終価

29 000·1.12² = 36 377.60

21 000·1.12¹ = 23 520.00

15 000·1.12⁰ = 15 000.00

TV = 74 897.60

MIRR

MIRR = (74 897.60/50 000)^1/3 − 1 = 14.42%

答え

MIRR = 14.42%

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