投資と企業価値評価：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

貨幣の時間価値

将来価値: FV = PV·(1 + i)ⁿ
現在価値: PV = FV/(1 + i)ⁿ
年に複数の期間: i = r/m, N = m·n
年金現価: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金終価: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

解き方

すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
答えの符号と桁を確認します。

債券の価格と利回り

債券価格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年ごとの利払い: C/2、y/2、2n 期
直接利回り: C/P
価格と利回り: 利回り上昇 → 価格下落

解き方

1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。

CAPM と WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企業価値: V = E + D

NPV と IRR

正味現在価値: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
均等なキャッシュフロー: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部収益率: NPV = 0 となる r
判断: NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用

解き方

すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
各キャッシュフローを割り引きます：CF_t/(1 + r)^t。
それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。

2演習問題

1.貨幣の時間価値ふつう

9 年後に €15 000 が必要です。口座の利率は年 5%、四半期複利です。今日いくら預ければよいですか？現在価値 PV を求めなさい。

FV = €15 0005% / 4n = 9

PV = €

2.貨幣の時間価値むずかしい

18 年間、毎月末に €300 を積み立てます。口座の利率は年 4.8%、月複利です。最後にいくら貯まりますか？FV を求めなさい。

A = €3004.8% / 12N = 216

FV = €

3.債券の価格と利回りふつう

最終利回りが 5% のときに、残存期間 4 年の債券（額面 €1 000、年間クーポン 4.5%）を購入します。1 年後、最初のクーポンを受け取った直後に、最終利回りが 6% のときに売却します。保有期間利回り HPR をパーセントで求めなさい。

F = €1 000クーポンレート = 4.5%n = 4y₀ = 5%y₁ = 6%

HPR = %

4.債券の価格と利回りむずかしい

残存期間 18 年の債券（額面 €1 000、年間クーポン 6%）が €1 253 で売られています。発行者は 3 年後に €1 060 の償還価格で繰上償還できます。繰上償還利回り YTC をパーセントで求めなさい。

F = €1 000クーポンレート = 6%P = €1 253繰上償還価格 = €1 060繰上償還まで 3 年

YTC = %

5.CAPM と WACCふつう

ある企業は時価 €2 000 000 の株主資本と時価 €5 000 000 の負債をもっています。株主資本コストは 8%、税引前負債コストは 3.5%、税率は 25% です。WACC を求めなさい。

E = €2 000 000D = €5 000 000r_e = 8%r_d = 3.5%T = 25%

WACC = %

6.CAPM と WACCむずかしい

ある会社の株主資本の時価は €12 000 000、株主資本コストは 12% です。負債は 8 000 枚の債券（額面 €1 000、年間クーポン 4%、残存期間 6 年）からなり、1 枚 €1 083 で取引されています。税率は 30% です。債券の最終利回りを税引前負債コストとして、WACC を求めなさい。

E = €12 000 000r_e = 12%債券: 8 000 × €1 083クーポンレート = 4%n = 6T = 30%

WACC = %

7.NPV と IRRふつう

あるプロジェクトの費用は今日 €250 000 です。1 年目の末に €18 000 を生み、その後キャッシュフローは永久に年 2% ずつ増加します。資本コストは 8% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。

C₀ = €250 000CF₁ = €18 000g = 2%r = 8%

NPV = €

8.NPV と IRRむずかしい

あるプロジェクトは €20 000 かかり、1 年目から 2 年目の各年末に €10 500, €13 000 を生みます。内部収益率 IRR をパーセントで求めなさい。

CF₀ = −20 000CF₁ = 10 500CF₂ = 13 000

IRR = %

3溶液

1.貨幣の時間価値

答え: PV = 9591 €

貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)ⁿ のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。

利率と期間数

i = 0.05/4 = 0.0125

N = 4·9 = 36

現在価値

PV = FV/(1 + i)^N = 15 000/1.564 = €9 591.14

答え

PV = €9 591.14

2.貨幣の時間価値

答え: FV = 102641 €

月利と積立回数

i = 0.048/12 = 0.004

N = 12·18 = 216

積立金の将来価値

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 300·(2.369 − 1)/0.004 = €102 641.01

答え

FV = €102 641.01

自分で払い込んだのは €64 800。残りは利息です。

3.債券の価格と利回り

答え: HPR = 2.304 %

債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。

購入価格

C = €45.00, i = 0.05, N = 4

€45.00·(1 − 0.8227)/0.05 + €1 000·0.8227 = €159.57 + €822.70 = €982.27

売却価格

C = €45.00, i = 0.06, N = 3

€45.00·(1 − 0.8396)/0.06 + €1 000·0.8396 = €120.29 + €839.62 = €959.90

保有期間利回り

HPR = (45 + 959.90 − 982.27)/982.27 = 2.304%

答え

HPR = 2.304%

4.債券の価格と利回り

答え: YTC = 50 %

利回りの方程式

1253 = 60·(1 − (1 + y)⁻³)/y + 1060/(1 + y)³

数値的に解く

y = 50%: €398.52

YTC = 50%

答え

YTC = 50%

最終利回りは 4.001% です。オーバーパー債券の投資家は繰上償還を予想するので、低い方の繰上償還利回りの方が現実的です。

5.CAPM と WACC

答え: WACC = 4.161 %

資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。

ウェイト

V = €7 000 000, E/V = 0.2857, D/V = 0.7143

WACC

WACC = 0.2857·8% + 0.7143·3.5%·(1 − 0.25) = 4.161%

答え

WACC = 4.161%

6.CAPM と WACC

答え: WACC = 7.7 %

負債コスト（YTM）

1083 = 40·(1 − (1 + y)⁻⁶)/y + 1000/(1 + y)⁶

y = 2.493%

時価

D = 8 000·€1 083 = €8 664 000

V = €20 664 000, E/V = 0.5807, D/V = 0.4193

WACC

WACC = 0.5807·12% + 0.4193·2.493%·(1 − 0.3) = 7.7%

答え

WACC = 7.7%

7.NPV と IRR

答え: NPV = 50000 €

正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。

キャッシュフローの価値

PV = 18 000/(0.08 − 0.02) = 300 000.00

NPV

NPV = 300 000.00 − 250 000 = €50 000.00

答え

NPV = €50 000.00

NPV は正なので、このプロジェクトは要求収益率より多く稼ぎます。

8.NPV と IRR

答え: IRR = 11.04 %

IRR を挟み込む

利率が上がると NPV は下がるので、IRR は NPV が正の利率と負の利率の間にあります。

NPV(10%) = 289.26

NPV(15%) = −1 039.70

絞り込む

線形補間で最初の見積もりが得られます。これを繰り返す（または電卓の IRR 機能を使う）と正確な利率が得られます。

IRR ≈ 10 + 5·289.26/(289.26 − (−1 039.70)) = 11.09%

正確な値: NPV(11.04%) = 0 → IRR = 11.04%

答え

IRR = 11.04%

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