1公式と解法
貨幣の時間価値
- 将来価値
- FV = PV·(1 + i)n
- 現在価値
- PV = FV/(1 + i)n
- 年に複数の期間
- i = r/m, N = m·n
- 年金現価
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金終価
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
解き方
- すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
- 利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
- 一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
- 答えの符号と桁を確認します。
債券の価格と利回り
- 債券価格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年ごとの利払い
- C/2、y/2、2n 期
- 直接利回り
- C/P
- 価格と利回り
- 利回り上昇 → 価格下落
解き方
- 1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
- 価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
- 半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
- 確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。
CAPM と WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企業価値
- V = E + D
NPV と IRR
- 正味現在価値
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 均等なキャッシュフロー
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部収益率
- NPV = 0 となる r
- 判断
- NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用
解き方
- すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
- 各キャッシュフローを割り引きます：CFt/(1 + r)t。
- それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
- IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。
2演習問題
1.貨幣の時間価値ふつう
2 年後に €15 000 が必要です。口座の利率は年 4.8%、月複利です。今日いくら預ければよいですか？現在価値 PV を求めなさい。
FV = €15 0004.8% / 12n = 2
PV = €
2.貨幣の時間価値むずかしい
€300 000 の住宅ローンを、年 3%、月複利で 20 年間の元利均等の月払いで返済します。12 年目の末の支払い直後に、まだいくら残っていますか？残高 B を求めなさい。
P = €300 0003% / 12N = 240k = 144
B = €
3.債券の価格と利回りふつう
額面 €1 000 の債券が、年 5% のクーポンを年 2 回に分けて半年ごとに支払い、12 年後に満期を迎えます。最終利回りは年 3% です。 この債券の価格 P を求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 5%YTM = 3%n = 12
P = €
4.債券の価格と利回りむずかしい
額面 €1 000、年クーポン 3% の債券が 10 年後に満期を迎え、€880 で売られています。最終利回り YTM をパーセントで求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 3%n = 10P = €880
YTM = %
5.CAPM と WACCふつう
ある企業は時価 €4 000 000 の株主資本と時価 €5 000 000 の負債をもっています。株主資本コストは 9%、税引前負債コストは 4.5%、税率は 25.8% です。WACC を求めなさい。
E = €4 000 000D = €5 000 000re = 9%rd = 4.5%T = 25.8%
WACC = %
6.CAPM と WACCむずかしい
ある企業は1 株 €27.50 の株式 1 000 000 株と、1 口 €1 020 で取引されている債券 40 000 口をもっています。税引前負債コストは 7%、税率は 21% です。株式のベータは 1.3、無リスク金利は 2.5%、市場収益率は 6.5% です。WACC を求めなさい。
β = 1.3rf = 2.5%rm = 6.5%rd = 7%T = 21%
WACC = %
7.NPV と IRRふつう
あるプロジェクトの費用は今日 €40 000 で、6 年間、毎年末に €13 500 を生みます。資本コストは 12% です。キャッシュフローは各年の間に均等に入ると仮定します。割引回収期間 DPB を年で求めなさい。
r = 12%CF0 = −40 000CF1 = 13 500CF2 = 13 500CF3 = 13 500CF4 = 13 500CF5 = 13 500CF6 = 13 500
DPB = 年
8.NPV と IRRむずかしい
あるプロジェクトは €10 000 かかり、1 年目から 3 年目の各年末に €4 500, €5 000, €6 500 を生みます。内部収益率 IRR をパーセントで求めなさい。
CF0 = −10 000CF1 = 4 500CF2 = 5 000CF3 = 6 500
IRR = %
3溶液
1.貨幣の時間価値
答え: PV = 13630 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
利率と期間数
i = 0.048/12 = 0.004
N = 12·2 = 24
現在価値
PV = FV/(1 + i)N = 15 000/1.101 = €13 629.57
2.貨幣の時間価値
答え: B = 141846 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
毎月の返済額
i = 0.0025, N = 240
A = 300 000·0.0025/(1 − (1 + 0.0025)−240) = €1 663.79
残りの支払いの現在価値
まだ残っている借入は、残りの支払いでちょうど完済されなければなりません。
N − k = 240 − 144 = 96
B = 1664·(1 − (1 + 0.0025)−96)/0.0025 = €141 845.99
3.債券の価格と利回り
答え: P = 1200 €
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
1 期あたり
C = €25.00, i = 0.015, N = 24
クーポンの現在価値
€25.00·(1 − 0.6995)/0.015 = €500.76
利回りがクーポンレートより低いので、債券は額面より高く（オーバーパーで）売られます。
4.債券の価格と利回り
答え: YTM = 4.518 %
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
利回りの方程式
€880 = €30·(1 − (1 + y)⁻¹⁰)/y + €1 000/(1 + y)¹⁰
数値的に解く
P(4%) = €918.89, P(5%) = €845.57
YTM = 4.518%
5.CAPM と WACC
答え: WACC = 5.855 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
ウェイト
V = €9 000 000, E/V = 0.4444, D/V = 0.5556
WACC
WACC = 0.4444·9% + 0.5556·4.5%·(1 − 0.258) = 5.855%
6.CAPM と WACC
答え: WACC = 6.404 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
時価
E = 1 000 000·€27.50 = €27 500 000
D = 40 000·€1 020 = €40 800 000
株主資本コスト（CAPM）
re = 2.5% + 1.3·4% = 7.7%
ウェイト
V = €68 300 000, E/V = 0.4026, D/V = 0.5974
WACC
WACC = 0.4026·7.7% + 0.5974·7%·(1 − 0.21) = 6.404%
7.NPV と IRR
答え: DPB = 3.883 年
回収期間：累積キャッシュフローが初期投資を回収するまでの時間です。現金は各年の間に均等に入ると仮定するので、最後の部分は 1 年の端数になります。単純回収期間は貨幣の時間価値を無視します。割引回収期間では、代わりに割り引いたキャッシュフローを使います。
割引キャッシュフローと累積キャッシュフロー
年度 1: 13 500/1.12 = 12 053.57 → Σ = 12 053.57
年度 2: 13 500/1.254 = 10 762.12 → Σ = 22 815.69
年度 3: 13 500/1.405 = 9 609.03 → Σ = 32 424.72
年度 4: 13 500/1.574 = 8 579.49 → Σ = 41 004.22
最後の年の端数
DPB = 3 + 7 575.28/8 579.49 = 3.883
割引回収期間は、常に単純回収期間（2.963 年）より長くなります。
8.NPV と IRR
答え: IRR = 25.81 %
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
IRR を挟み込む
利率が上がると NPV は下がるので、IRR は NPV が正の利率と負の利率の間にあります。
NPV(25%) = 128.00
NPV(30%) = −621.30
絞り込む
線形補間で最初の見積もりが得られます。これを繰り返す（または電卓の IRR 機能を使う）と正確な利率が得られます。
IRR ≈ 25 + 5·128.00/(128.00 − (−621.30)) = 25.85%
正確な値: NPV(25.81%) = 0 → IRR = 25.81%