1公式と解法
貨幣の時間価値
- 将来価値
- FV = PV·(1 + i)n
- 現在価値
- PV = FV/(1 + i)n
- 年に複数の期間
- i = r/m, N = m·n
- 年金現価
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金終価
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
解き方
- すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
- 利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
- 一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
- 答えの符号と桁を確認します。
債券の価格と利回り
- 債券価格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年ごとの利払い
- C/2、y/2、2n 期
- 直接利回り
- C/P
- 価格と利回り
- 利回り上昇 → 価格下落
解き方
- 1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
- 価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
- 半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
- 確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。
CAPM と WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企業価値
- V = E + D
NPV と IRR
- 正味現在価値
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 均等なキャッシュフロー
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部収益率
- NPV = 0 となる r
- 判断
- NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用
解き方
- すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
- 各キャッシュフローを割り引きます：CFt/(1 + r)t。
- それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
- IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。
2演習問題
1.貨幣の時間価値ふつう
ある不動産は来年 €5 000 の純賃料を生むと見込まれています。賃料は永久に年 1% ずつ増加すると見込まれています。要求収益率は年 6% です。この不動産の今日の価値 PV を求めなさい。
C1 = €5 000g = 1%r = 6%
PV = €
2.貨幣の時間価値むずかしい
年 7.2%、月複利で €5 000 を借り、毎月末に €100 を返済します。ローンを完済するまでに何か月かかりますか（最後の返済額は少なくてもよい）？返済回数 N を答えなさい。
P = €5 000A = €1007.2% / 12
N = 回
3.債券の価格と利回りふつう
額面 €1 000 の債券が年 8% のクーポンを支払い、11 年後に満期を迎えます。最終利回りが 7% から 9% に変化します。債券価格はどれだけ ΔP 変化しますか？
F = €1 000クーポンレート = 8%n = 11y1 = 7%y2 = 9%
ΔP = €
4.債券の価格と利回りむずかしい
額面 €1 000、年クーポン 7% の債券が 10 年後に満期を迎え、€870 で売られています。最終利回り YTM をパーセントで求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 7%n = 10P = €870
YTM = %
5.CAPM と WACCふつう
ベータ 1.5 の株式の要求収益率は 12.25% です。無リスク金利は 2.5% です。CAPM から導かれる市場の期待収益率 rm はいくらですか？
β = 1.5re = 12.25%rf = 2.5%
rm = %
6.CAPM と WACCむずかしい
ある企業は1 株 €27.00 の株式 5 000 000 株と、1 口 €1 020 で取引されている債券 5 000 口をもっています。税引前負債コストは 4%、税率は 25% です。株式のベータは 0.6、無リスク金利は 2.5%、市場収益率は 9% です。WACC を求めなさい。
β = 0.6rf = 2.5%rm = 9%rd = 4%T = 25%
WACC = %
7.NPV と IRRふつう
€45 000 の投資が、1 年目から 3 年目の各年末に次のキャッシュフローを生みます：€15 000, €11 000, €14 000。資本コストは 5% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。
r = 5%CF0 = −45 000CF1 = 15 000CF2 = 11 000CF3 = 14 000
NPV = €
8.NPV と IRRむずかしい
あるプロジェクトの費用は €10 000 で、1 年目から 4 年目の各年末に €4 000, €5 000, €4 500, €5 500 を生みます。キャッシュフローは資本コスト 12% で再投資できます。修正内部収益率 MIRR をパーセントで求めなさい。
r = 12%CF0 = −10 000CF1 = 4 000CF2 = 5 000CF3 = 4 500CF4 = 5 500
MIRR = %
3溶液
1.貨幣の時間価値
答え: PV = 100000 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
成長型永久年金
PV = C1/(r − g) = 5 000/(0.06 − 0.01) = 5 000/0.05 = €100 000.00
2.貨幣の時間価値
答え: N = 60 回
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
年金の公式を変形する
i = 0.006
(1 + i)−N = 1 − 5 000·0.006/100 = 0.7
対数を使って解く
N = −ln(0.7)/ln(1.006) = 59.62
返済回数を整数に切り上げる
59 回の満額返済の後にわずかな残高が残り、最後の少額の返済でそれを完済します。
3.債券の価格と利回り
答え: ΔP = −143 €
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
元の利回りでの価格
C = €80.00, i = 0.07, N = 11
€80.00·(1 − 0.4751)/0.07 + €1 000·0.4751 = €599.89 + €475.09 = €1 074.99
新しい利回りでの価格
C = €80.00, i = 0.09, N = 11
€80.00·(1 − 0.3875)/0.09 + €1 000·0.3875 = €544.42 + €387.53 = €931.95
変化
ΔP = 931.95 − 1 074.99 = −€143.04
4.債券の価格と利回り
答え: YTM = 9.028 %
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
利回りの方程式
€870 = €70·(1 − (1 + y)⁻¹⁰)/y + €1 000/(1 + y)¹⁰
数値的に解く
P(9%) = €871.65, P(10%) = €815.66
YTM = 9.028%
5.CAPM と WACC
答え: rm = 9 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
市場リスクプレミアム
rm − rf = (12.25% − 2.5%)/1.5 = 6.5%
6.CAPM と WACC
答え: WACC = 6.276 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
時価
E = 5 000 000·€27.00 = €135 000 000
D = 5 000·€1 020 = €5 100 000
株主資本コスト（CAPM）
re = 2.5% + 0.6·6.5% = 6.4%
ウェイト
V = €140 100 000, E/V = 0.9636, D/V = 0.0364
WACC
WACC = 0.9636·6.4% + 0.0364·4%·(1 − 0.25) = 6.276%
7.NPV と IRR
答え: NPV = −8643 €
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
各キャッシュフローの現在価値
CF0 = −45 000
CF1/(1 + 0.05)1 = 15 000/1.05 = 14 285.71
CF2/(1 + 0.05)2 = 11 000/1.103 = 9 977.32
CF3/(1 + 0.05)3 = 14 000/1.158 = 12 093.73
NPV は負なので、このプロジェクトは要求収益率より少なくしか稼ぎません。
8.NPV と IRR
答え: MIRR = 22.38 %
修正 IRR：各流入を再投資利率（通常は資本コスト）でプロジェクトの終わりまで複利計算し、終価 TV を求めます。MIRR は初期投資を TV に変える利率です：MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1。
流入の終価
4 000·1.123 = 5 619.71
5 000·1.122 = 6 272.00
4 500·1.121 = 5 040.00
5 500·1.120 = 5 500.00
TV = 22 431.71
MIRR
MIRR = (22 431.71/10 000)1/4 − 1 = 22.38%