投資と企業価値評価：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

貨幣の時間価値

将来価値: FV = PV·(1 + i)ⁿ
現在価値: PV = FV/(1 + i)ⁿ
年に複数の期間: i = r/m, N = m·n
年金現価: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金終価: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

解き方

すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
答えの符号と桁を確認します。

債券の価格と利回り

債券価格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年ごとの利払い: C/2、y/2、2n 期
直接利回り: C/P
価格と利回り: 利回り上昇 → 価格下落

解き方

1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。

CAPM と WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企業価値: V = E + D

NPV と IRR

正味現在価値: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
均等なキャッシュフロー: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部収益率: NPV = 0 となる r
判断: NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用

解き方

すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
各キャッシュフローを割り引きます：CF_t/(1 + r)^t。
それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。

2演習問題

1.貨幣の時間価値ふつう

年金が毎年末に €500 を 9 年間支払います。利率は年 3% です。この年金の現在価値 PV を求めなさい。

A = €500i = 3%n = 9

PV = €

2.貨幣の時間価値むずかしい

€30 000 のローンを、年 2.4%、月複利で 3 年間の元利均等の月払いで返済します。ローン期間全体で支払う利息の合計 I はいくらですか？

P = €30 0002.4% / 12N = 36

I = €

3.債券の価格と利回りふつう

額面 €1 000 の債券が、年 5% のクーポンを年 2 回に分けて半年ごとに支払い、10 年後に満期を迎えます。最終利回りは年 4% です。この債券の価格 P を求めなさい。

F = €1 000クーポンレート = 5%YTM = 4%n = 10

P = €

4.債券の価格と利回りむずかしい

残存期間 16 年の債券（額面 €1 000、年間クーポン 7%）が €1 217 で売られています。発行者は 6 年後に €1 070 の償還価格で繰上償還できます。繰上償還利回り YTC をパーセントで求めなさい。

F = €1 000クーポンレート = 7%P = €1 217繰上償還価格 = €1 070繰上償還まで 6 年

YTC = %

5.CAPM と WACCふつう

ある企業は時価 €6 000 000 の株主資本と時価 €5 000 000 の負債をもっています。株主資本コストは 8%、税引前負債コストは 5%、税率は 30% です。WACC を求めなさい。

E = €6 000 000D = €5 000 000r_e = 8%r_d = 5%T = 30%

WACC = %

6.CAPM と WACCむずかしい

ある企業は1 株 €29.50 の株式 2 500 000 株と、1 口 €980 で取引されている債券 5 000 口をもっています。税引前負債コストは 6%、税率は 21% です。株式のベータは 1.8、無リスク金利は 3%、市場収益率は 7% です。WACC を求めなさい。

β = 1.8r_f = 3%r_m = 7%r_d = 6%T = 21%

WACC = %

7.NPV と IRRふつう

€75 000 の投資が、1 年目から 3 年目の各年末に次のキャッシュフローを生みます：€22 000, €23 000, €35 000。資本コストは 8% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。

r = 8%CF₀ = −75 000CF₁ = 22 000CF₂ = 23 000CF₃ = 35 000

NPV = €

8.NPV と IRRむずかしい

あるプロジェクトは €25 000 かかり、1 年目から 2 年目の各年末に €16 500, €18 500 を生みます。内部収益率 IRR をパーセントで求めなさい。

CF₀ = −25 000CF₁ = 16 500CF₂ = 18 500

IRR = %

3溶液

1.貨幣の時間価値

答え: PV = 3893 €

貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)ⁿ のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。

年金現価係数

(1 − (1 + i)⁻ⁿ)/i = (1 − 0.7664)/0.03 = 7.786

現在価値

PV = 500·7.786 = €3 893.05

答え

PV = €3 893.05

2.貨幣の時間価値

答え: I = 1123 €

毎月の返済額

i = 0.002, N = 36

A = 30 000·0.002/(1 − (1 + 0.002)⁻³⁶) = €864.53

利息の総額

I = N·A − P = 36·864.5 − 30 000 = €1 122.94

答え

I = €1 122.94

3.債券の価格と利回り

答え: P = 1082 €

債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。

1 期あたり

C = €25.00, i = 0.02, N = 20

クーポンの現在価値

€25.00·(1 − 0.673)/0.02 = €408.79

額面の現在価値

€1 000·0.673 = €672.97

価格

P = €1 081.76

答え

P = €1 081.76

利回りがクーポンレートより低いので、債券は額面より高く（オーバーパーで）売られます。

4.債券の価格と利回り

答え: YTC = 3.927 %

利回りの方程式

1217 = 70·(1 − (1 + y)⁻⁶)/y + 1070/(1 + y)⁶

数値的に解く

y = 3%: €1 275.31

y = 4%: €1 212.59

YTC = 3.927%

答え

YTC = 3.927%

最終利回りは 4.998% です。オーバーパー債券の投資家は繰上償還を予想するので、低い方の繰上償還利回りの方が現実的です。

5.CAPM と WACC

答え: WACC = 5.955 %

資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。

ウェイト

V = €11 000 000, E/V = 0.5455, D/V = 0.4545

WACC

WACC = 0.5455·8% + 0.4545·5%·(1 − 0.3) = 5.955%

答え

WACC = 5.955%

6.CAPM と WACC

答え: WACC = 9.86 %

時価

E = 2 500 000·€29.50 = €73 750 000

D = 5 000·€980 = €4 900 000

株主資本コスト（CAPM）

r_e = 3% + 1.8·4% = 10.2%

ウェイト

V = €78 650 000, E/V = 0.9377, D/V = 0.0623

WACC

WACC = 0.9377·10.2% + 0.0623·6%·(1 − 0.21) = 9.86%

答え

WACC = 9.86%

7.NPV と IRR

答え: NPV = −7127 €

正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。

各キャッシュフローの現在価値

CF₀ = −75 000

CF₁/(1 + 0.08)¹ = 22 000/1.08 = 20 370.37

CF₂/(1 + 0.08)² = 23 000/1.166 = 19 718.79

CF₃/(1 + 0.08)³ = 35 000/1.26 = 27 784.13

合計する

NPV = €−7 126.71

答え

NPV = €−7 126.71

NPV は負なので、このプロジェクトは要求収益率より少なくしか稼ぎません。

8.NPV と IRR

答え: IRR = 25.14 %

IRR を挟み込む

利率が上がると NPV は下がるので、IRR は NPV が正の利率と負の利率の間にあります。

NPV(25%) = 40.00

NPV(30%) = −1 360.95

絞り込む

線形補間で最初の見積もりが得られます。これを繰り返す（または電卓の IRR 機能を使う）と正確な利率が得られます。

IRR ≈ 25 + 5·40.00/(40.00 − (−1 360.95)) = 25.14%

正確な値: NPV(25.14%) = 0 → IRR = 25.14%

答え

IRR = 25.14%

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