1公式と解法
貨幣の時間価値
- 将来価値
- FV = PV·(1 + i)n
- 現在価値
- PV = FV/(1 + i)n
- 年に複数の期間
- i = r/m, N = m·n
- 年金現価
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金終価
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
解き方
- すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
- 利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
- 一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
- 答えの符号と桁を確認します。
債券の価格と利回り
- 債券価格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年ごとの利払い
- C/2、y/2、2n 期
- 直接利回り
- C/P
- 価格と利回り
- 利回り上昇 → 価格下落
解き方
- 1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
- 価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
- 半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
- 確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。
CAPM と WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企業価値
- V = E + D
NPV と IRR
- 正味現在価値
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 均等なキャッシュフロー
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部収益率
- NPV = 0 となる r
- 判断
- NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用
解き方
- すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
- 各キャッシュフローを割り引きます：CFt/(1 + r)t。
- それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
- IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。
2演習問題
1.貨幣の時間価値ふつう
名目年利 3%、月複利で €3 000 を投資します。2 年後の投資の価値 FV を求めなさい。
PV = €3 0003% / 12n = 2
FV = €
2.貨幣の時間価値むずかしい
21 年間、毎月末に €200 を積み立てます。口座の利率は年 4.2%、月複利です。最後にいくら貯まりますか？FV を求めなさい。
A = €2004.2% / 12N = 252
FV = €
3.債券の価格と利回りふつう
最終利回りが 3% のときに、残存期間 11 年の債券（額面 €1 000、年間クーポン 6%）を購入します。1 年後、最初のクーポンを受け取った直後に、最終利回りが 2% のときに売却します。保有期間利回り HPR をパーセントで求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 6%n = 11y0 = 3%y1 = 2%
HPR = %
4.債券の価格と利回りむずかしい
額面 €1 000 の債券が年 2% のクーポンを半年ごとの 2 回に分けて支払い、11 年後に満期を迎えます。価格は €714 です。最終利回り YTM を年率（半年利回りの 2 倍）としてパーセントで求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 2% (2×)n = 11P = €714
YTM = %
5.CAPM と WACCふつう
ある会社は、価値 €12 000 000 の普通株、価値 €1 500 000 の優先株、価値 €4 000 000 の負債で資金調達しています。株主資本コストは 10%、優先株のコストは 7.5%、税引前負債コストは 4.5% です。税率は 30% です。WACC を求めなさい。
E = €12 000 000Ps = €1 500 000D = €4 000 000re = 10%rp = 7.5%rd = 4.5%T = 30%
WACC = %
6.CAPM と WACCむずかしい
ある会社の株式のベータは、現在の負債資本比率 0.4 で 1.2 です。負債資本比率を 1.25 に引き上げる計画です。税率は 21%、無リスク金利は 3%、市場リスクプレミアムは 6.5% です。変更後の株主資本コスト re を求めなさい。
βL = 1.2D/E1 = 0.4D/E2 = 1.25T = 21%rf = 3%rm − rf = 6.5%
re = %
7.NPV と IRRふつう
ある機械の費用は今日 €100 000 です。8 年間、毎年末に €16 500 を生み、その後 €20 000 で売却できます。資本コストは 6% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。
C0 = €100 000CF = €16 500S = €20 000n = 8r = 6%
NPV = €
8.NPV と IRRむずかしい
あるプロジェクトの費用は今日 €80 000 です。そのキャッシュフローは 1 年目の末に €11 000 で、8 年目の末の最後のキャッシュフローまで年 2% ずつ増加します。資本コストは 12% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。
C0 = €80 000CF1 = €11 000g = 2%n = 8r = 12%
NPV = €
3溶液
1.貨幣の時間価値
答え: FV = 3185 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
利率と期間数
i = r/m = 0.03/12 = 0.0025
N = m·n = 12·2 = 24
将来価値
FV = 3 000·(1 + 0.0025)24 = 3 000·1.062 = €3 185.27
2.貨幣の時間価値
答え: FV = 80686 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
月利と積立回数
i = 0.042/12 = 0.0035
N = 12·21 = 252
積立金の将来価値
FV = A·((1 + i)N − 1)/i = 200·(2.412 − 1)/0.0035 = €80 686.24
自分で払い込んだのは €50 400。残りは利息です。
3.債券の価格と利回り
答え: HPR = 11.09 %
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
購入価格
C = €60.00, i = 0.03, N = 11
€60.00·(1 − 0.7224)/0.03 + €1 000·0.7224 = €555.16 + €722.42 = €1 277.58
売却価格
C = €60.00, i = 0.02, N = 10
€60.00·(1 − 0.8203)/0.02 + €1 000·0.8203 = €538.96 + €820.35 = €1 359.30
保有期間利回り
HPR = (60 + 1 359.30 − 1 277.58)/1 277.58 = 11.09%
4.債券の価格と利回り
答え: YTM = 5.5 %
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
5.CAPM と WACC
答え: WACC = 8.22 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
ウェイト
V = 12 000 000 + 1 500 000 + 4 000 000 = €17 500 000
E/V = 0.6857, Ps/V = 0.08571, D/V = 0.2286
WACC
WACC = 0.6857·10% + 0.08571·7.5% + 0.2286·4.5%·(1 − 0.3) = 8.22%
6.CAPM と WACC
答え: re = 14.78 %
レバードベータ（ハマダの式）：負債があると株式のリスクは高まります。βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E) で、βU は負債のない事業のベータです。ベータを別の資本構成に移すには、まずアンレバーし、次に新しい D/E でリレバーします。
ベータをアンレバーする
βU = 1.2/(1 + 0.79·0.4) = 0.9119
新しい D/E でリレバーする
βL = 0.9119·(1 + 0.79·1.25) = 1.812
株主資本コスト（CAPM）
re = 3% + 1.812·6.5% = 14.78%
7.NPV と IRR
答え: NPV = 15010 €
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
NPV
NPV = −100 000 + 102 461.60 + 12 548.25 = €15 009.85
8.NPV と IRR
答え: NPV = −22053 €
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
成長型年金の現在価値
((1.02)/(1.12))8 = 0.4732
PV = 11 000/(0.12 − 0.02)·(1 − 0.4732) = 57 946.51
NPV
NPV = 57 946.51 − 80 000 = −€22 053.49
NPV は負なので、このプロジェクトは要求収益率より少なくしか稼ぎません。