投資と企業価値評価：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

貨幣の時間価値

将来価値: FV = PV·(1 + i)ⁿ
現在価値: PV = FV/(1 + i)ⁿ
年に複数の期間: i = r/m, N = m·n
年金現価: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金終価: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

解き方

すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
答えの符号と桁を確認します。

債券の価格と利回り

債券価格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年ごとの利払い: C/2、y/2、2n 期
直接利回り: C/P
価格と利回り: 利回り上昇 → 価格下落

解き方

1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。

CAPM と WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企業価値: V = E + D

NPV と IRR

正味現在価値: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
均等なキャッシュフロー: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部収益率: NPV = 0 となる r
判断: NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用

解き方

すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
各キャッシュフローを割り引きます：CF_t/(1 + r)^t。
それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。

2演習問題

1.貨幣の時間価値ふつう

名目年利 6%、月複利で €5 000 を投資します。2 年後の投資の価値 FV を求めなさい。

PV = €5 0006% / 12n = 2

FV = €

2.貨幣の時間価値むずかしい

10 年後に €50 000 が欲しいとします。年 3%、月複利の口座に、毎月末に同じ額を積み立てます。毎月の積立額 A を求めなさい。

FV = €50 0003% / 12N = 120

A = €

3.債券の価格と利回りふつう

額面 €1 000 の債券が年 7% のクーポンを支払い、5 年後に満期を迎えます。最終利回りが 3.5% から 1.5% に変化します。債券価格はどれだけ ΔP 変化しますか？

F = €1 000クーポンレート = 7%n = 5y₁ = 3.5%y₂ = 1.5%

ΔP = €

4.債券の価格と利回りむずかしい

ある債券が €975 で取引され、最終利回りは 3%（年複利）、マコーレー・デュレーションは 5.5 年です。利回りが 25 ベーシスポイント低下した場合の新しい価格 P を、修正デュレーションを使って推定しなさい。

P₀ = €975y = 3%D = 5.5Δy = −25 bp

P = €

5.CAPM と WACCふつう

ある企業は時価 €6 000 000 の株主資本と時価 €2 000 000 の負債をもっています。株主資本コストは 8%、税引前負債コストは 7%、税率は 30% です。WACC を求めなさい。

E = €6 000 000D = €2 000 000r_e = 8%r_d = 7%T = 30%

WACC = %

6.CAPM と WACCむずかしい

ある会社の株式は 4 000 000 株で、€58.00 で取引されています。株主資本の簿価は €116 000 000 です。1 株あたり €1.40 の配当を支払ったところで、配当は年 4% 成長します。負債の時価は €139 200 000、税引前コストは 4% です。税率は 30% です。株主資本コストに配当成長モデルを使って、WACC を求めなさい。

N = 4 000 000P₀ = €58.00株主資本の簿価 = €116 000 000D₀ = €1.40g = 4%D = €139 200 000r_d = 4%T = 30%

WACC = %

7.NPV と IRRふつう

あるプロジェクトの費用は今日 €250 000 です。1 年目の末に €17 000 を生み、その後キャッシュフローは永久に年 4% ずつ増加します。資本コストは 10% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。

C₀ = €250 000CF₁ = €17 000g = 4%r = 10%

NPV = €

8.NPV と IRRむずかしい

あるプロジェクトは €20 000 かかり、1 年目から 3 年目の各年末に €9 000, €8 500, €12 000 を生みます。内部収益率 IRR をパーセントで求めなさい。

CF₀ = −20 000CF₁ = 9 000CF₂ = 8 500CF₃ = 12 000

IRR = %

3溶液

1.貨幣の時間価値

答え: FV = 5636 €

貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)ⁿ のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。

利率と期間数

i = r/m = 0.06/12 = 0.005

N = m·n = 12·2 = 24

将来価値

FV = 5 000·(1 + 0.005)²⁴ = 5 000·1.127 = €5 635.80

答え

FV = €5 635.80

2.貨幣の時間価値

答え: A = 357.8 €

月利と積立回数

i = 0.03/12 = 0.0025

N = 12·10 = 120

積立額

A = FV·i/((1 + i)^N − 1) = 50 000·0.0025/(1.349 − 1) = €357.80

答え

A = €357.80

3.債券の価格と利回り

答え: ΔP = 105 €

債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。

元の利回りでの価格

C = €70.00, i = 0.035, N = 5

€70.00·(1 − 0.842)/0.035 + €1 000·0.842 = €316.05 + €841.97 = €1 158.03

新しい利回りでの価格

C = €70.00, i = 0.015, N = 5

€70.00·(1 − 0.9283)/0.015 + €1 000·0.9283 = €334.79 + €928.26 = €1 263.05

変化

ΔP = 1 263.05 − 1 158.03 = €105.02

答え

ΔP = €105.02

4.債券の価格と利回り

答え: P = 988 €

デュレーション：マコーレー・デュレーションは、キャッシュフローの現在価値を重みとした、債券がキャッシュフローを支払う時点の加重平均です：D = Σ t·PVₜ/P。修正デュレーション D/(1 + y) は、利回りがわずかに変化したときの価格変化率を推定します：%ΔP ≈ −D_mod·Δy。

修正デュレーション

D_mod = 5.5/1.03 = 5.34

推定価格変化

%ΔP ≈ −5.34·(−0.0025) = 1.335%

P ≈ 975·(1 + 0.01335) = €988.02

答え

P = €988.02

デュレーションは線形の推定です。利回りの変化が大きいと、コンベクシティにより実際の価格は少し高くなります。

5.CAPM と WACC

答え: WACC = 7.225 %

資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。

ウェイト

V = €8 000 000, E/V = 0.75, D/V = 0.25

WACC

WACC = 0.75·8% + 0.25·7%·(1 − 0.3) = 7.225%

答え

WACC = 7.225%

6.CAPM と WACC

答え: WACC = 5.119 %

株主資本コスト

D₁ = 1.4·1.04 = €1.46

r_e = 1.456/58 + 0.04 = 6.51%

時価

E = 4 000 000·€58.00 = €232 000 000

V = €371 200 000, E/V = 0.625, D/V = 0.375

WACC

WACC = 0.625·6.51% + 0.375·4%·(1 − 0.3) = 5.119%

答え

WACC = 5.119%

7.NPV と IRR

答え: NPV = 33333 €

正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。

キャッシュフローの価値

PV = 17 000/(0.1 − 0.04) = 283 333.33

NPV

NPV = 283 333.33 − 250 000 = €33 333.33

答え

NPV = €33 333.33

NPV は正なので、このプロジェクトは要求収益率より多く稼ぎます。

8.NPV と IRR

答え: IRR = 21.05 %

IRR を挟み込む

利率が上がると NPV は下がるので、IRR は NPV が正の利率と負の利率の間にあります。

NPV(20%) = 347.22

NPV(25%) = −1 216.00

絞り込む

線形補間で最初の見積もりが得られます。これを繰り返す（または電卓の IRR 機能を使う）と正確な利率が得られます。

IRR ≈ 20 + 5·347.22/(347.22 − (−1 216.00)) = 21.11%

正確な値: NPV(21.05%) = 0 → IRR = 21.05%

答え

IRR = 21.05%

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