1公式と解法
貨幣の時間価値
- 将来価値
- FV = PV·(1 + i)n
- 現在価値
- PV = FV/(1 + i)n
- 年に複数の期間
- i = r/m, N = m·n
- 年金現価
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金終価
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
解き方
- すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
- 利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
- 一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
- 答えの符号と桁を確認します。
債券の価格と利回り
- 債券価格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年ごとの利払い
- C/2、y/2、2n 期
- 直接利回り
- C/P
- 価格と利回り
- 利回り上昇 → 価格下落
解き方
- 1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
- 価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
- 半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
- 確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。
CAPM と WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企業価値
- V = E + D
NPV と IRR
- 正味現在価値
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 均等なキャッシュフロー
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部収益率
- NPV = 0 となる r
- 判断
- NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用
解き方
- すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
- 各キャッシュフローを割り引きます：CFt/(1 + r)t。
- それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
- IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。
2演習問題
1.貨幣の時間価値ふつう
6 年後に €25 000 が必要です。口座の利率は年 3%、月複利です。今日いくら預ければよいですか？現在価値 PV を求めなさい。
FV = €25 0003% / 12n = 6
PV = €
2.貨幣の時間価値むずかしい
€250 000 の住宅ローンを、年 7.2%、月複利で 20 年間の元利均等の月払いで返済します。13 年目の末の支払い直後に、まだいくら残っていますか？残高 B を求めなさい。
P = €250 0007.2% / 12N = 240k = 156
B = €
3.債券の価格と利回りふつう
額面 €1 000 の債券が、年 6% のクーポンを年 2 回に分けて半年ごとに支払い、7 年後に満期を迎えます。最終利回りは年 4% です。 この債券の価格 P を求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 6%YTM = 4%n = 7
P = €
4.債券の価格と利回りむずかしい
額面 €1 000、年クーポン 6% の債券が 3 年後に満期を迎え、€1 040 で売られています。最終利回り YTM をパーセントで求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 6%n = 3P = €1 040
YTM = %
5.CAPM と WACCふつう
ベータ 1.4 の株式の要求収益率は 13.1% です。無リスク金利は 4% です。CAPM から導かれる市場の期待収益率 rm はいくらですか？
β = 1.4re = 13.1%rf = 4%
rm = %
6.CAPM と WACCむずかしい
ある企業は1 株 €33.50 の株式 2 000 000 株と、1 口 €960 で取引されている債券 5 000 口をもっています。税引前負債コストは 4%、税率は 25% です。株式のベータは 1.3、無リスク金利は 3.5%、市場収益率は 9.5% です。WACC を求めなさい。
β = 1.3rf = 3.5%rm = 9.5%rd = 4%T = 25%
WACC = %
7.NPV と IRRふつう
ある機械の費用は今日 €50 000 です。3 年間、毎年末に €18 500 を生み、その後 €12 500 で売却できます。資本コストは 8% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。
C0 = €50 000CF = €18 500S = €12 500n = 3r = 8%
NPV = €
8.NPV と IRRむずかしい
あるプロジェクトは €20 000 かかり、1 年目から 3 年目の各年末に €12 000, €13 000, €8 000 を生みます。内部収益率 IRR をパーセントで求めなさい。
CF0 = −20 000CF1 = 12 000CF2 = 13 000CF3 = 8 000
IRR = %
3溶液
1.貨幣の時間価値
答え: PV = 20886 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
利率と期間数
i = 0.03/12 = 0.0025
N = 12·6 = 72
現在価値
PV = FV/(1 + i)N = 25 000/1.197 = €20 886.45
2.貨幣の時間価値
答え: B = 129578 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
毎月の返済額
i = 0.006, N = 240
A = 250 000·0.006/(1 − (1 + 0.006)−240) = €1 968.37
残りの支払いの現在価値
まだ残っている借入は、残りの支払いでちょうど完済されなければなりません。
N − k = 240 − 156 = 84
B = 1968·(1 − (1 + 0.006)−84)/0.006 = €129 578.06
3.債券の価格と利回り
答え: P = 1121 €
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
1 期あたり
C = €30.00, i = 0.02, N = 14
クーポンの現在価値
€30.00·(1 − 0.7579)/0.02 = €363.19
利回りがクーポンレートより低いので、債券は額面より高く（オーバーパーで）売られます。
4.債券の価格と利回り
答え: YTM = 4.544 %
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
利回りの方程式
€1 040 = €60·(1 − (1 + y)⁻³)/y + €1 000/(1 + y)³
数値的に解く
P(4%) = €1 055.50, P(5%) = €1 027.23
YTM = 4.544%
5.CAPM と WACC
答え: rm = 10.5 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
市場リスクプレミアム
rm − rf = (13.1% − 4%)/1.4 = 6.5%
6.CAPM と WACC
答え: WACC = 10.75 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
時価
E = 2 000 000·€33.50 = €67 000 000
D = 5 000·€960 = €4 800 000
株主資本コスト（CAPM）
re = 3.5% + 1.3·6% = 11.3%
ウェイト
V = €71 800 000, E/V = 0.9331, D/V = 0.06685
WACC
WACC = 0.9331·11.3% + 0.06685·4%·(1 − 0.25) = 10.75%
7.NPV と IRR
答え: NPV = 7599 €
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
NPV
NPV = −50 000 + 47 676.29 + 9 922.90 = €7 599.20
8.NPV と IRR
答え: IRR = 32.12 %
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
IRR を挟み込む
利率が上がると NPV は下がるので、IRR は NPV が正の利率と負の利率の間にあります。
NPV(30%) = 564.41
NPV(35%) = −726.52
絞り込む
線形補間で最初の見積もりが得られます。これを繰り返す（または電卓の IRR 機能を使う）と正確な利率が得られます。
IRR ≈ 30 + 5·564.41/(564.41 − (−726.52)) = 32.19%
正確な値: NPV(32.12%) = 0 → IRR = 32.12%