投資と企業価値評価：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

新しい問題科目に戻る

印刷ウィンドウで「PDF として保存」を選ぶと、コピーを端末に保存できます。

1公式と解法

貨幣の時間価値

将来価値: FV = PV·(1 + i)ⁿ
現在価値: PV = FV/(1 + i)ⁿ
年に複数の期間: i = r/m, N = m·n
年金現価: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金終価: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

解き方

すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
答えの符号と桁を確認します。

債券の価格と利回り

債券価格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年ごとの利払い: C/2、y/2、2n 期
直接利回り: C/P
価格と利回り: 利回り上昇 → 価格下落

解き方

1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。

CAPM と WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企業価値: V = E + D

NPV と IRR

正味現在価値: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
均等なキャッシュフロー: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部収益率: NPV = 0 となる r
判断: NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用

解き方

すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
各キャッシュフローを割り引きます：CF_t/(1 + r)^t。
それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。

2演習問題

1.貨幣の時間価値ふつう

クレジットカードの名目年利は 15%、半年複利です。実効年利率 EAR をパーセントで求めなさい。

r = 15%m = 2

EAR = %

2.貨幣の時間価値むずかしい

15 年間、毎月末に €250 を積み立てます。口座の利率は年 6%、月複利です。最後にいくら貯まりますか？FV を求めなさい。

A = €2506% / 12N = 180

FV = €

3.債券の価格と利回りふつう

額面 €1 000 の債券が、年 7% のクーポンを年 2 回に分けて半年ごとに支払い、12 年後に満期を迎えます。最終利回りは年 5% です。この債券の価格 P を求めなさい。

F = €1 000クーポンレート = 7%YTM = 5%n = 12

P = €

4.債券の価格と利回りむずかしい

額面 €1 000 の債券が年 4.5% のクーポンを支払い、3 年後に満期を迎えます。最終利回りは 3% です。マコーレー・デュレーション D を年で求めなさい。

F = €1 000クーポンレート = 4.5%n = 3YTM = 3%

D = 年

5.CAPM と WACCふつう

ある会社の株主資本の価値は €4 000 000、負債の価値は €1 000 000 です。WACC は 8.16%、税引前負債コストは 6%、税率は 20% です。株主資本コスト r_e を求めなさい。

E = €4 000 000D = €1 000 000WACC = 8.16%r_d = 6%T = 20%

r_e = %

6.CAPM と WACCむずかしい

ある企業は1 株 €15.50 の株式 2 000 000 株と、1 口 €1 050 で取引されている債券 5 000 口をもっています。税引前負債コストは 3.5%、税率は 21% です。株式のベータは 1.1、無リスク金利は 1.5%、市場収益率は 5.5% です。WACC を求めなさい。

β = 1.1r_f = 1.5%r_m = 5.5%r_d = 3.5%T = 21%

WACC = %

7.NPV と IRRふつう

€60 000 の投資が、1 年目から 4 年目の各年末に次のキャッシュフローを生みます：€22 000, €26 000, €21 000, €15 000。資本コストは 12% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。

r = 12%CF₀ = −60 000CF₁ = 22 000CF₂ = 26 000CF₃ = 21 000CF₄ = 15 000

NPV = €

8.NPV と IRRむずかしい

プロジェクト A の費用は €10 000 で、1 年目から 3 年目の各年末に €5 500, €4 000, €2 500 を生みます。プロジェクト B の費用は €12 000 で、€3 000, €5 500, €6 000 を生みます。両方のプロジェクトの NPV が等しくなる交差利率 r* をパーセントで求めなさい。

A: −10 000, 5 500, 4 000, 2 500B: −12 000, 3 000, 5 500, 6 000

r* = %

3溶液

1.貨幣の時間価値

答え: EAR = 15.56 %

貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)ⁿ のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。

1 期あたりの利率

r/m = 0.15/2 = 0.075

1 年分の複利計算

EAR = (1 + 0.075)² − 1 = 1.156 − 1 = 15.56%

答え

EAR = 15.56%

利息が年に複数回複利計算されるとき、EAR は常に名目利率より高くなります。

2.貨幣の時間価値

答え: FV = 72705 €

月利と積立回数

i = 0.06/12 = 0.005

N = 12·15 = 180

積立金の将来価値

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 250·(2.454 − 1)/0.005 = €72 704.68

答え

FV = €72 704.68

自分で払い込んだのは €45 000。残りは利息です。

3.債券の価格と利回り

答え: P = 1179 €

債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。

1 期あたり

C = €35.00, i = 0.025, N = 24

クーポンの現在価値

€35.00·(1 − 0.5529)/0.025 = €625.97

額面の現在価値

€1 000·0.5529 = €552.88

価格

P = €1 178.85

答え

P = €1 178.85

利回りがクーポンレートより低いので、債券は額面より高く（オーバーパーで）売られます。

4.債券の価格と利回り

答え: D = 2.875 年

デュレーション：マコーレー・デュレーションは、キャッシュフローの現在価値を重みとした、債券がキャッシュフローを支払う時点の加重平均です：D = Σ t·PVₜ/P。修正デュレーション D/(1 + y) は、利回りがわずかに変化したときの価格変化率を推定します：%ΔP ≈ −D_mod·Δy。

各キャッシュフローの現在価値

t = 1: 45/1.03 = 43.69, t·PV = 43.69

t = 2: 45/1.061 = 42.42, t·PV = 84.83

t = 3: 1045/1.093 = 956.32, t·PV = 2 868.97

デュレーション

P = 1 042.43

D = 2 997.49/1 042.43 = 2.875

答え

D = 2.875 年

5.CAPM と WACC

答え: r_e = 9 %

資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。

ウェイト

V = €5 000 000, E/V = 0.8, D/V = 0.2

WACC の負債の部分

0.2·6%·(1 − 0.2) = 0.96%

株主資本コスト

r_e = (8.16% − 0.96%)/0.8 = 9%

答え

r_e = 9%

6.CAPM と WACC

答え: WACC = 5.446 %

時価

E = 2 000 000·€15.50 = €31 000 000

D = 5 000·€1 050 = €5 250 000

株主資本コスト（CAPM）

r_e = 1.5% + 1.1·4% = 5.9%

ウェイト

V = €36 250 000, E/V = 0.8552, D/V = 0.1448

WACC

WACC = 0.8552·5.9% + 0.1448·3.5%·(1 − 0.21) = 5.446%

答え

WACC = 5.446%

7.NPV と IRR

答え: NPV = 4850 €

正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。

各キャッシュフローの現在価値

CF₀ = −60 000

CF₁/(1 + 0.12)¹ = 22 000/1.12 = 19 642.86

CF₂/(1 + 0.12)² = 26 000/1.254 = 20 727.04

CF₃/(1 + 0.12)³ = 21 000/1.405 = 14 947.39

CF₄/(1 + 0.12)⁴ = 15 000/1.574 = 9 532.77

合計する

NPV = €4 850.05

答え

NPV = €4 850.05

NPV は正なので、このプロジェクトは要求収益率より多く稼ぎます。

8.NPV と IRR

答え: r* = 5.034 %

交差利率：2 つのプロジェクトの NPV が等しくなる割引率です。それはキャッシュフローの差（B − A）の IRR です。これより低い利率では、キャッシュフローが遅くて大きいプロジェクトの NPV が高くなり、これより高い利率ではもう一方が勝ちます。

キャッシュフローの差

ΔCF₀ = −12 000 − (−10 000) = −2 000

ΔCF₁ = 3 000 − 5 500 = −2 500

ΔCF₂ = 5 500 − 4 000 = 1 500

ΔCF₃ = 6 000 − 2 500 = 3 500

差の IRR

NPV_Δ(5%) = 3.02

NPV_Δ(6%) = −84.83

r* = 5.034%

答え

r* = 5.034%

確認：5.034% では両方の NPV が €1 019.71 です。

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation