1公式と解法
貨幣の時間価値
- 将来価値
- FV = PV·(1 + i)n
- 現在価値
- PV = FV/(1 + i)n
- 年に複数の期間
- i = r/m, N = m·n
- 年金現価
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金終価
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
解き方
- すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
- 利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
- 一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
- 答えの符号と桁を確認します。
債券の価格と利回り
- 債券価格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年ごとの利払い
- C/2、y/2、2n 期
- 直接利回り
- C/P
- 価格と利回り
- 利回り上昇 → 価格下落
解き方
- 1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
- 価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
- 半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
- 確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。
CAPM と WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企業価値
- V = E + D
NPV と IRR
- 正味現在価値
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 均等なキャッシュフロー
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部収益率
- NPV = 0 となる r
- 判断
- NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用
解き方
- すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
- 各キャッシュフローを割り引きます：CFt/(1 + r)t。
- それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
- IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。
2演習問題
1.貨幣の時間価値ふつう
€2 000 を年 4%、連続複利で投資します。18 年後の価値 FV を求めなさい。
PV = €2 000r = 4%t = 18
FV = €
2.貨幣の時間価値むずかしい
10 年間、毎月末に €100 を積み立てます。口座の利率は年 6%、月複利です。最後にいくら貯まりますか？FV を求めなさい。
A = €1006% / 12N = 120
FV = €
3.債券の価格と利回りふつう
額面 €1 000 の債券が年 4.5% のクーポンを支払い、4 年後に満期を迎えます。最終利回りが 6% から 8% に変化します。債券価格はどれだけ ΔP 変化しますか？
F = €1 000クーポンレート = 4.5%n = 4y1 = 6%y2 = 8%
ΔP = €
4.債券の価格と利回りむずかしい
額面 €1 000、年クーポン 6% の債券が 3 年後に満期を迎え、€1 025 で売られています。最終利回り YTM をパーセントで求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 6%n = 3P = €1 025
YTM = %
5.CAPM と WACCふつう
ある企業は時価 €2 000 000 の株主資本と時価 €3 000 000 の負債をもっています。株主資本コストは 9%、税引前負債コストは 5%、税率は 30% です。WACC を求めなさい。
E = €2 000 000D = €3 000 000re = 9%rd = 5%T = 30%
WACC = %
6.CAPM と WACCむずかしい
ある会社の株式は 4 000 000 株で、€49.00 で取引されています。株主資本の簿価は €78 400 000 です。1 株あたり €1.50 の配当を支払ったところで、配当は年 3% 成長します。負債の時価は €58 800 000、税引前コストは 6% です。税率は 25% です。株主資本コストに配当成長モデルを使って、WACC を求めなさい。
N = 4 000 000P0 = €49.00株主資本の簿価 = €78 400 000D0 = €1.50g = 3%D = €58 800 000rd = 6%T = 25%
WACC = %
7.NPV と IRRふつう
€20 000 の投資が、1 年目から 4 年目の各年末に次のキャッシュフローを生みます：€9 000, €7 000, €6 000, €8 000。資本コストは 10% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。
r = 10%CF0 = −20 000CF1 = 9 000CF2 = 7 000CF3 = 6 000CF4 = 8 000
NPV = €
8.NPV と IRRむずかしい
あるプロジェクトは €20 000 かかり、1 年目から 3 年目の各年末に €12 000, €11 500, €7 500 を生みます。内部収益率 IRR をパーセントで求めなさい。
CF0 = −20 000CF1 = 12 000CF2 = 11 500CF3 = 7 500
IRR = %
3溶液
1.貨幣の時間価値
答え: FV = 4109 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
指数
r·t = 0.04·18 = 0.72
e0.72 = 2.054
将来価値
FV = 2 000·2.054 = €4 108.87
2.貨幣の時間価値
答え: FV = 16388 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
月利と積立回数
i = 0.06/12 = 0.005
N = 12·10 = 120
積立金の将来価値
FV = A·((1 + i)N − 1)/i = 100·(1.819 − 1)/0.005 = €16 387.93
自分で払い込んだのは €12 000。残りは利息です。
3.債券の価格と利回り
答え: ΔP = −63.95 €
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
元の利回りでの価格
C = €45.00, i = 0.06, N = 4
€45.00·(1 − 0.7921)/0.06 + €1 000·0.7921 = €155.93 + €792.09 = €948.02
新しい利回りでの価格
C = €45.00, i = 0.08, N = 4
€45.00·(1 − 0.735)/0.08 + €1 000·0.735 = €149.05 + €735.03 = €884.08
変化
ΔP = 884.08 − 948.02 = −€63.95
4.債券の価格と利回り
答え: YTM = 5.081 %
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
利回りの方程式
€1 025 = €60·(1 − (1 + y)⁻³)/y + €1 000/(1 + y)³
数値的に解く
P(5%) = €1 027.23, P(6%) = €1 000.00
YTM = 5.081%
5.CAPM と WACC
答え: WACC = 5.7 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
ウェイト
V = €5 000 000, E/V = 0.4, D/V = 0.6
WACC
WACC = 0.4·9% + 0.6·5%·(1 − 0.3) = 5.7%
6.CAPM と WACC
答え: WACC = 5.772 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
株主資本コスト
D1 = 1.5·1.03 = €1.54
re = 1.545/49 + 0.03 = 6.153%
時価
E = 4 000 000·€49.00 = €196 000 000
V = €254 800 000, E/V = 0.7692, D/V = 0.2308
WACC
WACC = 0.7692·6.153% + 0.2308·6%·(1 − 0.25) = 5.772%
7.NPV と IRR
答え: NPV = 3939 €
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
各キャッシュフローの現在価値
CF0 = −20 000
CF1/(1 + 0.1)1 = 9 000/1.1 = 8 181.82
CF2/(1 + 0.1)2 = 7 000/1.21 = 5 785.12
CF3/(1 + 0.1)3 = 6 000/1.331 = 4 507.89
CF4/(1 + 0.1)4 = 8 000/1.464 = 5 464.11
NPV は正なので、このプロジェクトは要求収益率より多く稼ぎます。
8.NPV と IRR
答え: IRR = 27.89 %
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
IRR を挟み込む
利率が上がると NPV は下がるので、IRR は NPV が正の利率と負の利率の間にあります。
NPV(25%) = 800.00
NPV(30%) = −550.75
絞り込む
線形補間で最初の見積もりが得られます。これを繰り返す（または電卓の IRR 機能を使う）と正確な利率が得られます。
IRR ≈ 25 + 5·800.00/(800.00 − (−550.75)) = 27.96%
正確な値: NPV(27.89%) = 0 → IRR = 27.89%