1公式と解法
貨幣の時間価値
- 将来価値
- FV = PV·(1 + i)n
- 現在価値
- PV = FV/(1 + i)n
- 年に複数の期間
- i = r/m, N = m·n
- 年金現価
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金終価
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
解き方
- すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
- 利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
- 一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
- 答えの符号と桁を確認します。
債券の価格と利回り
- 債券価格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年ごとの利払い
- C/2、y/2、2n 期
- 直接利回り
- C/P
- 価格と利回り
- 利回り上昇 → 価格下落
解き方
- 1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
- 価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
- 半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
- 確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。
CAPM と WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企業価値
- V = E + D
NPV と IRR
- 正味現在価値
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 均等なキャッシュフロー
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部収益率
- NPV = 0 となる r
- 判断
- NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用
解き方
- すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
- 各キャッシュフローを割り引きます：CFt/(1 + r)t。
- それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
- IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。
2演習問題
1.貨幣の時間価値ふつう
クレジットカードの名目年利は 16%、四半期複利です。実効年利率 EAR をパーセントで求めなさい。
r = 16%m = 4
EAR = %
2.貨幣の時間価値むずかしい
14 年間、毎月末に €300 を積み立てます。口座の利率は年 4.2%、月複利です。最後にいくら貯まりますか？FV を求めなさい。
A = €3004.2% / 12N = 168
FV = €
3.債券の価格と利回りふつう
額面 €1 000 の債券が、年 4% のクーポンを年 2 回に分けて半年ごとに支払い、9 年後に満期を迎えます。最終利回りは年 6% です。 この債券の価格 P を求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 4%YTM = 6%n = 9
P = €
4.債券の価格と利回りむずかしい
額面 €1 000、年クーポン 3% の債券が 6 年後に満期を迎え、€1 055 で売られています。最終利回り YTM をパーセントで求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 3%n = 6P = €1 055
YTM = %
5.CAPM と WACCふつう
ベータ 1.4 の株式の要求収益率は 12.6% です。無リスク金利は 3.5% です。CAPM から導かれる市場の期待収益率 rm はいくらですか？
β = 1.4re = 12.6%rf = 3.5%
rm = %
6.CAPM と WACCむずかしい
ある会社の株主資本の時価は €10 000 000、株主資本コストは 12% です。負債は 5 000 枚の債券（額面 €1 000、年間クーポン 5%、残存期間 9 年）からなり、1 枚 €1 074 で取引されています。税率は 25.8% です。債券の最終利回りを税引前負債コストとして、WACC を求めなさい。
E = €10 000 000re = 12%債券: 5 000 × €1 074クーポンレート = 5%n = 9T = 25.8%
WACC = %
7.NPV と IRRふつう
あるプロジェクトの費用は今日 €60 000 で、1 年目から 6 年目の各年末に €12 000, €16 000, €19 500, €21 500, €23 000, €17 500 を生みます。資本コストは 8% です。キャッシュフローは各年の間に均等に入ると仮定します。割引回収期間 DPB を年で求めなさい。
r = 8%CF0 = −60 000CF1 = 12 000CF2 = 16 000CF3 = 19 500CF4 = 21 500CF5 = 23 000CF6 = 17 500
DPB = 年
8.NPV と IRRむずかしい
あるプロジェクトの費用は今日 €150 000 です。そのキャッシュフローは 1 年目の末に €15 000 で、9 年目の末の最後のキャッシュフローまで年 3% ずつ増加します。資本コストは 12% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。
C0 = €150 000CF1 = €15 000g = 3%n = 9r = 12%
NPV = €
3溶液
1.貨幣の時間価値
答え: EAR = 16.99 %
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
1 年分の複利計算
EAR = (1 + 0.04)4 − 1 = 1.17 − 1 = 16.99%
利息が年に複数回複利計算されるとき、EAR は常に名目利率より高くなります。
2.貨幣の時間価値
答え: FV = 68446 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
月利と積立回数
i = 0.042/12 = 0.0035
N = 12·14 = 168
積立金の将来価値
FV = A·((1 + i)N − 1)/i = 300·(1.799 − 1)/0.0035 = €68 446.00
自分で払い込んだのは €50 400。残りは利息です。
3.債券の価格と利回り
答え: P = 862.5 €
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
1 期あたり
C = €20.00, i = 0.03, N = 18
クーポンの現在価値
€20.00·(1 − 0.5874)/0.03 = €275.07
利回りがクーポンレートより高いので、債券は額面より安く（アンダーパーで）売られます。
4.債券の価格と利回り
答え: YTM = 2.018 %
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
利回りの方程式
€1 055 = €30·(1 − (1 + y)⁻⁶)/y + €1 000/(1 + y)⁶
数値的に解く
P(2%) = €1 056.01, P(3%) = €1 000.00
YTM = 2.018%
5.CAPM と WACC
答え: rm = 10 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
市場リスクプレミアム
rm − rf = (12.6% − 3.5%)/1.4 = 6.5%
6.CAPM と WACC
答え: WACC = 8.846 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
負債コスト（YTM）
1074 = 50·(1 − (1 + y)−9)/y + 1000/(1 + y)9
y = 4.005%
時価
D = 5 000·€1 074 = €5 370 000
V = €15 370 000, E/V = 0.6506, D/V = 0.3494
WACC
WACC = 0.6506·12% + 0.3494·4.005%·(1 − 0.258) = 8.846%
7.NPV と IRR
答え: DPB = 4.248 年
回収期間：累積キャッシュフローが初期投資を回収するまでの時間です。現金は各年の間に均等に入ると仮定するので、最後の部分は 1 年の端数になります。単純回収期間は貨幣の時間価値を無視します。割引回収期間では、代わりに割り引いたキャッシュフローを使います。
割引キャッシュフローと累積キャッシュフロー
年度 1: 12 000/1.08 = 11 111.11 → Σ = 11 111.11
年度 2: 16 000/1.166 = 13 717.42 → Σ = 24 828.53
年度 3: 19 500/1.26 = 15 479.73 → Σ = 40 308.26
年度 4: 21 500/1.36 = 15 803.14 → Σ = 56 111.40
年度 5: 23 000/1.469 = 15 653.41 → Σ = 71 764.82
最後の年の端数
DPB = 4 + 3 888.60/15 653.41 = 4.248
割引回収期間は、常に単純回収期間（3.581 年）より長くなります。
8.NPV と IRR
答え: NPV = −61752 €
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
成長型年金の現在価値
((1.03)/(1.12))9 = 0.4705
PV = 15 000/(0.12 − 0.03)·(1 − 0.4705) = 88 247.62
NPV
NPV = 88 247.62 − 150 000 = −€61 752.38
NPV は負なので、このプロジェクトは要求収益率より少なくしか稼ぎません。