1公式と解法
貨幣の時間価値
- 将来価値
- FV = PV·(1 + i)n
- 現在価値
- PV = FV/(1 + i)n
- 年に複数の期間
- i = r/m, N = m·n
- 年金現価
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金終価
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
解き方
- すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
- 利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
- 一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
- 答えの符号と桁を確認します。
債券の価格と利回り
- 債券価格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年ごとの利払い
- C/2、y/2、2n 期
- 直接利回り
- C/P
- 価格と利回り
- 利回り上昇 → 価格下落
解き方
- 1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
- 価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
- 半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
- 確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。
CAPM と WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企業価値
- V = E + D
NPV と IRR
- 正味現在価値
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 均等なキャッシュフロー
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部収益率
- NPV = 0 となる r
- 判断
- NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用
解き方
- すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
- 各キャッシュフローを割り引きます：CFt/(1 + r)t。
- それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
- IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。
2演習問題
1.貨幣の時間価値ふつう
10 年後に €50 000 が必要です。口座の利率は年 6%、四半期複利です。今日いくら預ければよいですか？現在価値 PV を求めなさい。
FV = €50 0006% / 4n = 10
PV = €
2.貨幣の時間価値むずかしい
5 年後に €100 000 が欲しいとします。年 7.2%、月複利の口座に、毎月末に同じ額を積み立てます。毎月の積立額 A を求めなさい。
FV = €100 0007.2% / 12N = 60
A = €
3.債券の価格と利回りふつう
額面 €1 000 の債券が年 5% のクーポンを支払い、4 年後に満期を迎えます。最終利回りが 7% から 5% に変化します。債券価格はどれだけ ΔP 変化しますか？
F = €1 000クーポンレート = 5%n = 4y1 = 7%y2 = 5%
ΔP = €
4.債券の価格と利回りむずかしい
額面 €1 000 の債券が年 5% のクーポンを半年ごとの 2 回に分けて支払い、5 年後に満期を迎えます。価格は €917 です。最終利回り YTM を年率（半年利回りの 2 倍）としてパーセントで求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 5% (2×)n = 5P = €917
YTM = %
5.CAPM と WACCふつう
ある会社の負債資本比率（時価）は 0.5 です。株主資本コストは 14%、税引前負債コストは 7%、税率は 28% です。WACC を求めなさい。
D/E = 0.5re = 14%rd = 7%T = 28%
WACC = %
6.CAPM と WACCむずかしい
ある企業は1 株 €52.00 の株式 4 000 000 株と、1 口 €1 020 で取引されている債券 5 000 口をもっています。税引前負債コストは 4.5%、税率は 20% です。株式のベータは 1.2、無リスク金利は 4%、市場収益率は 9.5% です。WACC を求めなさい。
β = 1.2rf = 4%rm = 9.5%rd = 4.5%T = 20%
WACC = %
7.NPV と IRRふつう
ある機械の費用は今日 €60 000 です。4 年間、毎年末に €15 000 を生み、その後 €15 000 で売却できます。資本コストは 12% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。
C0 = €60 000CF = €15 000S = €15 000n = 4r = 12%
NPV = €
8.NPV と IRRむずかしい
プロジェクト A の費用は €10 000 で、1 年目から 3 年目の各年末に €5 500, €3 500, €2 500 を生みます。プロジェクト B の費用は €15 000 で、€4 000, €6 000, €7 500 を生みます。両方のプロジェクトの NPV が等しくなる交差利率 r* をパーセントで求めなさい。
A: −10 000, 5 500, 3 500, 2 500B: −15 000, 4 000, 6 000, 7 500
r* = %
3溶液
1.貨幣の時間価値
答え: PV = 27563 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
利率と期間数
i = 0.06/4 = 0.015
N = 4·10 = 40
現在価値
PV = FV/(1 + i)N = 50 000/1.814 = €27 563.12
2.貨幣の時間価値
答え: A = 1390 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
月利と積立回数
i = 0.07200000000000001/12 = 0.006
N = 12·5 = 60
積立額
A = FV·i/((1 + i)N − 1) = 100 000·0.006/(1.432 − 1) = €1 389.57
3.債券の価格と利回り
答え: ΔP = 67.74 €
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
元の利回りでの価格
C = €50.00, i = 0.07, N = 4
€50.00·(1 − 0.7629)/0.07 + €1 000·0.7629 = €169.36 + €762.90 = €932.26
新しい利回りでの価格
C = €50.00, i = 0.05, N = 4
€50.00·(1 − 0.8227)/0.05 + €1 000·0.8227 = €177.30 + €822.70 = €1 000.00
変化
ΔP = 1 000.00 − 932.26 = €67.74
4.債券の価格と利回り
答え: YTM = 6.996 %
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
5.CAPM と WACC
答え: WACC = 11.01 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
D/E からの重み
E/V = 1/(1 + 0.5) = 0.6667
D/V = 0.5/(1 + 0.5) = 0.3333
WACC
WACC = 0.6667·14% + 0.3333·7%·(1 − 0.28) = 11.01%
6.CAPM と WACC
答え: WACC = 10.43 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
時価
E = 4 000 000·€52.00 = €208 000 000
D = 5 000·€1 020 = €5 100 000
株主資本コスト（CAPM）
re = 4% + 1.2·5.5% = 10.6%
ウェイト
V = €213 100 000, E/V = 0.9761, D/V = 0.02393
WACC
WACC = 0.9761·10.6% + 0.02393·4.5%·(1 − 0.2) = 10.43%
7.NPV と IRR
答え: NPV = −4907 €
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
NPV
NPV = −60 000 + 45 560.24 + 9 532.77 = −€4 906.99
8.NPV と IRR
答え: r* = 6.054 %
交差利率：2 つのプロジェクトの NPV が等しくなる割引率です。それはキャッシュフローの差（B − A）の IRR です。これより低い利率では、キャッシュフローが遅くて大きいプロジェクトの NPV が高くなり、これより高い利率ではもう一方が勝ちます。
キャッシュフローの差
ΔCF0 = −15 000 − (−10 000) = −5 000
ΔCF1 = 4 000 − 5 500 = −1 500
ΔCF2 = 6 000 − 3 500 = 2 500
ΔCF3 = 7 500 − 2 500 = 5 000
差の IRR
NPVΔ(6%) = 7.99
NPVΔ(7%) = −136.78
r* = 6.054%
確認：6.054% では両方の NPV が €393.65 です。