1公式と解法
貨幣の時間価値
- 将来価値
- FV = PV·(1 + i)n
- 現在価値
- PV = FV/(1 + i)n
- 年に複数の期間
- i = r/m, N = m·n
- 年金現価
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金終価
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
解き方
- すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
- 利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
- 一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
- 答えの符号と桁を確認します。
債券の価格と利回り
- 債券価格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年ごとの利払い
- C/2、y/2、2n 期
- 直接利回り
- C/P
- 価格と利回り
- 利回り上昇 → 価格下落
解き方
- 1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
- 価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
- 半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
- 確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。
CAPM と WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企業価値
- V = E + D
NPV と IRR
- 正味現在価値
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 均等なキャッシュフロー
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部収益率
- NPV = 0 となる r
- 判断
- NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用
解き方
- すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
- 各キャッシュフローを割り引きます：CFt/(1 + r)t。
- それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
- IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。
2演習問題
1.貨幣の時間価値ふつう
年金が毎年末に €1 500 を 6 年間支払います。利率は年 4% です。この年金の現在価値 PV を求めなさい。
A = €1 500i = 4%n = 6
PV = €
2.貨幣の時間価値むずかしい
29 年間、毎月末に €200 を積み立てます。口座の利率は年 5.4%、月複利です。最後にいくら貯まりますか？FV を求めなさい。
A = €2005.4% / 12N = 348
FV = €
3.債券の価格と利回りふつう
額面 €1 000 の債券が、年 2% のクーポンを年 2 回に分けて半年ごとに支払い、8 年後に満期を迎えます。最終利回りは年 9% です。 この債券の価格 P を求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 2%YTM = 9%n = 8
P = €
4.債券の価格と利回りむずかしい
額面 €1 000、年クーポン 7% の債券が 5 年後に満期を迎え、€1 065 で売られています。最終利回り YTM をパーセントで求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 7%n = 5P = €1 065
YTM = %
5.CAPM と WACCふつう
ある企業は時価 €5 000 000 の株主資本と時価 €2 000 000 の負債をもっています。株主資本コストは 13%、税引前負債コストは 6%、税率は 20% です。WACC を求めなさい。
E = €5 000 000D = €2 000 000re = 13%rd = 6%T = 20%
WACC = %
6.CAPM と WACCむずかしい
ある企業は1 株 €44.00 の株式 4 000 000 株と、1 口 €960 で取引されている債券 20 000 口をもっています。税引前負債コストは 3.5%、税率は 25% です。株式のベータは 1.1、無リスク金利は 3.5%、市場収益率は 7.5% です。WACC を求めなさい。
β = 1.1rf = 3.5%rm = 7.5%rd = 3.5%T = 25%
WACC = %
7.NPV と IRRふつう
あるプロジェクトの費用は今日 €30 000 で、1 年目から 4 年目の各年末に €9 000, €13 500, €13 000, €8 000 を生みます。資本コストは 12% です。キャッシュフローは各年の間に均等に入ると仮定します。割引回収期間 DPB を年で求めなさい。
r = 12%CF0 = −30 000CF1 = 9 000CF2 = 13 500CF3 = 13 000CF4 = 8 000
DPB = 年
8.NPV と IRRむずかしい
あるプロジェクトは €50 000 かかり、1 年目から 3 年目の各年末に €35 000, €27 500, €25 500 を生みます。内部収益率 IRR をパーセントで求めなさい。
CF0 = −50 000CF1 = 35 000CF2 = 27 500CF3 = 25 500
IRR = %
3溶液
1.貨幣の時間価値
答え: PV = 7863 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
年金現価係数
(1 − (1 + i)−n)/i = (1 − 0.7903)/0.04 = 5.242
現在価値
PV = 1 500·5.242 = €7 863.21
2.貨幣の時間価値
答え: FV = 167585 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
月利と積立回数
i = 0.054000000000000006/12 = 0.0045
N = 12·29 = 348
積立金の将来価値
FV = A·((1 + i)N − 1)/i = 200·(4.771 − 1)/0.0045 = €167 585.39
自分で払い込んだのは €69 600。残りは利息です。
3.債券の価格と利回り
答え: P = 606.8 €
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
1 期あたり
C = €10.00, i = 0.045, N = 16
クーポンの現在価値
€10.00·(1 − 0.4945)/0.045 = €112.34
利回りがクーポンレートより高いので、債券は額面より安く（アンダーパーで）売られます。
4.債券の価格と利回り
答え: YTM = 5.479 %
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
利回りの方程式
€1 065 = €70·(1 − (1 + y)⁻⁵)/y + €1 000/(1 + y)⁵
数値的に解く
P(5%) = €1 086.59, P(6%) = €1 042.12
YTM = 5.479%
5.CAPM と WACC
答え: WACC = 10.66 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
ウェイト
V = €7 000 000, E/V = 0.7143, D/V = 0.2857
WACC
WACC = 0.7143·13% + 0.2857·6%·(1 − 0.2) = 10.66%
6.CAPM と WACC
答え: WACC = 7.381 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
時価
E = 4 000 000·€44.00 = €176 000 000
D = 20 000·€960 = €19 200 000
株主資本コスト（CAPM）
re = 3.5% + 1.1·4% = 7.9%
ウェイト
V = €195 200 000, E/V = 0.9016, D/V = 0.09836
WACC
WACC = 0.9016·7.9% + 0.09836·3.5%·(1 − 0.25) = 7.381%
7.NPV と IRR
答え: DPB = 3.383 年
回収期間：累積キャッシュフローが初期投資を回収するまでの時間です。現金は各年の間に均等に入ると仮定するので、最後の部分は 1 年の端数になります。単純回収期間は貨幣の時間価値を無視します。割引回収期間では、代わりに割り引いたキャッシュフローを使います。
割引キャッシュフローと累積キャッシュフロー
年度 1: 9 000/1.12 = 8 035.71 → Σ = 8 035.71
年度 2: 13 500/1.254 = 10 762.12 → Σ = 18 797.83
年度 3: 13 000/1.405 = 9 253.14 → Σ = 28 050.97
年度 4: 8 000/1.574 = 5 084.14 → Σ = 33 135.12
最後の年の端数
DPB = 3 + 1 949.03/5 084.14 = 3.383
割引回収期間は、常に単純回収期間（2.577 年）より長くなります。
8.NPV と IRR
答え: IRR = 37.19 %
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
IRR を挟み込む
利率が上がると NPV は下がるので、IRR は NPV が正の利率と負の利率の間にあります。
NPV(35%) = 1 379.36
NPV(40%) = −1 676.38
絞り込む
線形補間で最初の見積もりが得られます。これを繰り返す（または電卓の IRR 機能を使う）と正確な利率が得られます。
IRR ≈ 35 + 5·1 379.36/(1 379.36 − (−1 676.38)) = 37.26%
正確な値: NPV(37.19%) = 0 → IRR = 37.19%