投資と企業価値評価：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

新しい問題科目に戻る

印刷ウィンドウで「PDF として保存」を選ぶと、コピーを端末に保存できます。

1公式と解法

貨幣の時間価値

将来価値: FV = PV·(1 + i)ⁿ
現在価値: PV = FV/(1 + i)ⁿ
年に複数の期間: i = r/m, N = m·n
年金現価: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金終価: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

解き方

すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
答えの符号と桁を確認します。

債券の価格と利回り

債券価格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年ごとの利払い: C/2、y/2、2n 期
直接利回り: C/P
価格と利回り: 利回り上昇 → 価格下落

解き方

1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。

CAPM と WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企業価値: V = E + D

NPV と IRR

正味現在価値: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
均等なキャッシュフロー: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部収益率: NPV = 0 となる r
判断: NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用

解き方

すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
各キャッシュフローを割り引きます：CF_t/(1 + r)^t。
それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。

2演習問題

1.貨幣の時間価値ふつう

名目年利 3%、月複利で €12 000 を投資します。8 年後の投資の価値 FV を求めなさい。

PV = €12 0003% / 12n = 8

FV = €

2.貨幣の時間価値むずかしい

年 6%、月複利で €25 000 を借り、毎月末に €600 を返済します。ローンを完済するまでに何か月かかりますか（最後の返済額は少なくてもよい）？返済回数 N を答えなさい。

P = €25 000A = €6006% / 12

N = 回

3.債券の価格と利回りふつう

額面 €1 000 の債券が、年 7% のクーポンを年 2 回に分けて半年ごとに支払い、10 年後に満期を迎えます。最終利回りは年 2.5% です。この債券の価格 P を求めなさい。

F = €1 000クーポンレート = 7%YTM = 2.5%n = 10

P = €

4.債券の価格と利回りむずかしい

ある債券が €910 で取引され、最終利回りは 7%（年複利）、マコーレー・デュレーションは 11.3 年です。利回りが 150 ベーシスポイント上昇した場合の新しい価格 P を、修正デュレーションを使って推定しなさい。

P₀ = €910y = 7%D = 11.3Δy = +150 bp

P = €

5.CAPM と WACCふつう

ある会社の負債資本比率（時価）は 1 です。株主資本コストは 12%、税引前負債コストは 6%、税率は 21% です。WACC を求めなさい。

D/E = 1r_e = 12%r_d = 6%T = 21%

WACC = %

6.CAPM と WACCむずかしい

ある会社の事業のアンレバードベータ（資産ベータ）は 1.1 です。負債資本比率を 0.25 にする計画です。税率は 21%、無リスク金利は 1.5%、市場リスクプレミアムは 4.5% です。新しい資本構成での株主資本コスト r_e を求めなさい。

β_U = 1.1D/E = 0.25T = 21%r_f = 1.5%r_m − r_f = 4.5%

r_e = %

7.NPV と IRRふつう

ある機械の費用は今日 €50 000 です。4 年間、毎年末に €13 500 を生み、その後 €5 000 で売却できます。資本コストは 12% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。

C₀ = €50 000CF = €13 500S = €5 000n = 4r = 12%

NPV = €

8.NPV と IRRむずかしい

あるプロジェクトは €50 000 かかり、1 年目から 3 年目の各年末に €35 500, €22 500, €34 500 を生みます。内部収益率 IRR をパーセントで求めなさい。

CF₀ = −50 000CF₁ = 35 500CF₂ = 22 500CF₃ = 34 500

IRR = %

3溶液

1.貨幣の時間価値

答え: FV = 15250 €

貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)ⁿ のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。

利率と期間数

i = r/m = 0.03/12 = 0.0025

N = m·n = 12·8 = 96

将来価値

FV = 12 000·(1 + 0.0025)⁹⁶ = 12 000·1.271 = €15 250.42

答え

FV = €15 250.42

2.貨幣の時間価値

答え: N = 47 回

年金の公式を変形する

i = 0.005

(1 + i)^−N = 1 − 25 000·0.005/600 = 0.7917

対数を使って解く

N = −ln(0.7917)/ln(1.005) = 46.84

返済回数を整数に切り上げる

46 回の満額返済の後にわずかな残高が残り、最後の少額の返済でそれを完済します。

N = 47

答え

N = 47 回

3.債券の価格と利回り

答え: P = 1396 €

債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。

1 期あたり

C = €35.00, i = 0.0125, N = 20

クーポンの現在価値

€35.00·(1 − 0.78)/0.0125 = €615.98

額面の現在価値

€1 000·0.78 = €780.01

価格

P = €1 395.98

答え

P = €1 395.98

利回りがクーポンレートより低いので、債券は額面より高く（オーバーパーで）売られます。

4.債券の価格と利回り

答え: P = 765.8 €

デュレーション：マコーレー・デュレーションは、キャッシュフローの現在価値を重みとした、債券がキャッシュフローを支払う時点の加重平均です：D = Σ t·PVₜ/P。修正デュレーション D/(1 + y) は、利回りがわずかに変化したときの価格変化率を推定します：%ΔP ≈ −D_mod·Δy。

修正デュレーション

D_mod = 11.3/1.07 = 10.56

推定価格変化

%ΔP ≈ −10.56·(0.015) = −15.84%

P ≈ 910·(1 − 0.1584) = €765.85

答え

P = €765.85

デュレーションは線形の推定です。利回りの変化が大きいと、コンベクシティにより実際の価格は少し高くなります。

5.CAPM と WACC

答え: WACC = 8.37 %

資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。

D/E からの重み

E/V = 1/(1 + 1) = 0.5

D/V = 1/(1 + 1) = 0.5

WACC

WACC = 0.5·12% + 0.5·6%·(1 − 0.21) = 8.37%

答え

WACC = 8.37%

6.CAPM と WACC

答え: r_e = 7.428 %

レバードベータ（ハマダの式）：負債があると株式のリスクは高まります。β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E) で、β_U は負債のない事業のベータです。ベータを別の資本構成に移すには、まずアンレバーし、次に新しい D/E でリレバーします。

レバードベータ

β_L = 1.1·(1 + 0.79·0.25) = 1.317

株主資本コスト（CAPM）

r_e = 1.5% + 1.317·4.5% = 7.428%

答え

r_e = 7.428%

7.NPV と IRR

答え: NPV = −5818 €

正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。

毎年のキャッシュフローの現在価値

13 500·3.037 = 41 004.22

残存価値の現在価値

5 000/1.574 = 3 177.59

NPV

NPV = −50 000 + 41 004.22 + 3 177.59 = −€5 818.19

答え

NPV = −€5 818.19

8.NPV と IRR

答え: IRR = 39.05 %

IRR を挟み込む

利率が上がると NPV は下がるので、IRR は NPV が正の利率と負の利率の間にあります。

NPV(35%) = 2 664.23

NPV(40%) = −590.38

絞り込む

線形補間で最初の見積もりが得られます。これを繰り返す（または電卓の IRR 機能を使う）と正確な利率が得られます。

IRR ≈ 35 + 5·2 664.23/(2 664.23 − (−590.38)) = 39.09%

正確な値: NPV(39.05%) = 0 → IRR = 39.05%

答え

IRR = 39.05%

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation