投資と企業価値評価：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

貨幣の時間価値

将来価値: FV = PV·(1 + i)ⁿ
現在価値: PV = FV/(1 + i)ⁿ
年に複数の期間: i = r/m, N = m·n
年金現価: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金終価: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

解き方

すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
答えの符号と桁を確認します。

債券の価格と利回り

債券価格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年ごとの利払い: C/2、y/2、2n 期
直接利回り: C/P
価格と利回り: 利回り上昇 → 価格下落

解き方

1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。

CAPM と WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企業価値: V = E + D

NPV と IRR

正味現在価値: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
均等なキャッシュフロー: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部収益率: NPV = 0 となる r
判断: NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用

解き方

すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
各キャッシュフローを割り引きます：CF_t/(1 + r)^t。
それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。

2演習問題

1.貨幣の時間価値ふつう

ある不動産は来年 €5 000 の純賃料を生むと見込まれています。賃料は永久に年 2% ずつ増加すると見込まれています。要求収益率は年 5% です。この不動産の今日の価値 PV を求めなさい。

C₁ = €5 000g = 2%r = 5%

PV = €

2.貨幣の時間価値むずかしい

€150 000 のローンを 25 年間、毎月の元利均等払いで返済します。金利は年 4.8%、月複利です。毎月の返済額 A を求めなさい。

P = €150 0004.8% / 12N = 300

A = €

3.債券の価格と利回りふつう

額面 €1 000 の債券が 13 年後に満期を迎え、年 1 回クーポンを支払います。最終利回りが 3% のとき €1 213 で売られています。クーポン利率 c をパーセントで求めなさい。

F = €1 000n = 13P = €1 213YTM = 3%

c = %

4.債券の価格と利回りむずかしい

額面 €1 000 の債券が年 2% のクーポンを支払い、3 年後に満期を迎えます。最終利回りは 7% です。マコーレー・デュレーション D を年で求めなさい。

F = €1 000クーポンレート = 2%n = 3YTM = 7%

D = 年

5.CAPM と WACCふつう

ある企業は時価 €5 000 000 の株主資本と時価 €5 000 000 の負債をもっています。株主資本コストは 9%、税引前負債コストは 5%、税率は 25% です。WACC を求めなさい。

E = €5 000 000D = €5 000 000r_e = 9%r_d = 5%T = 25%

WACC = %

6.CAPM と WACCむずかしい

ある企業は1 株 €27.50 の株式 1 000 000 株と、1 口 €1 050 で取引されている債券 20 000 口をもっています。税引前負債コストは 3%、税率は 21% です。株式のベータは 0.8、無リスク金利は 2%、市場収益率は 7% です。WACC を求めなさい。

β = 0.8r_f = 2%r_m = 7%r_d = 3%T = 21%

WACC = %

7.NPV と IRRふつう

ある機械の費用は今日 €20 000、耐用年数は 6 年、運転費は毎年 €1 500（各年末に支払い）です。資本コストは 5% です。等価年間費用 EAC を求めなさい。

C₀ = €20 000M = €1 500n = 6r = 5%

EAC = €

8.NPV と IRRむずかしい

あるプロジェクトは €20 000 かかり、1 年目から 3 年目の各年末に €10 500, €11 000, €9 000 を生みます。内部収益率 IRR をパーセントで求めなさい。

CF₀ = −20 000CF₁ = 10 500CF₂ = 11 000CF₃ = 9 000

IRR = %

3溶液

1.貨幣の時間価値

答え: PV = 166667 €

貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)ⁿ のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。

成長型永久年金

PV = C₁/(r − g) = 5 000/(0.05 − 0.02) = 5 000/0.03 = €166 666.67

答え

PV = €166 666.67

2.貨幣の時間価値

答え: A = 859.5 €

月利と返済回数

i = 0.048/12 = 0.004

N = 12·25 = 300

返済額

等額 A の支払い N 回の現在価値は A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i です。これを借入額と等しくおいて A を求めます。

(1 + i)^−N = 0.3019

A = 150 000·0.004/(1 − 0.3019) = €859.50

答え

A = €859.50

3.債券の価格と利回り

答え: c = 5.003 %

債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。

額面の現在価値

1000·(1 + 0.03)⁻¹³ = €680.95

クーポン

C = (1213 − 680.95)/10.63 = €50.03

クーポン・レート

c = 50.03/1000 = 5.003%

答え

c = 5.003%

4.債券の価格と利回り

答え: D = 2.937 年

デュレーション：マコーレー・デュレーションは、キャッシュフローの現在価値を重みとした、債券がキャッシュフローを支払う時点の加重平均です：D = Σ t·PVₜ/P。修正デュレーション D/(1 + y) は、利回りがわずかに変化したときの価格変化率を推定します：%ΔP ≈ −D_mod·Δy。

各キャッシュフローの現在価値

t = 1: 20/1.07 = 18.69, t·PV = 18.69

t = 2: 20/1.145 = 17.47, t·PV = 34.94

t = 3: 1020/1.225 = 832.62, t·PV = 2 497.87

デュレーション

P = 868.78

D = 2 551.50/868.78 = 2.937

答え

D = 2.937 年

5.CAPM と WACC

答え: WACC = 6.375 %

資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。

ウェイト

V = €10 000 000, E/V = 0.5, D/V = 0.5

WACC

WACC = 0.5·9% + 0.5·5%·(1 − 0.25) = 6.375%

答え

WACC = 6.375%

6.CAPM と WACC

答え: WACC = 4.428 %

時価

E = 1 000 000·€27.50 = €27 500 000

D = 20 000·€1 050 = €21 000 000

株主資本コスト（CAPM）

r_e = 2% + 0.8·5% = 6%

ウェイト

V = €48 500 000, E/V = 0.567, D/V = 0.433

WACC

WACC = 0.567·6% + 0.433·3%·(1 − 0.21) = 4.428%

答え

WACC = 4.428%

7.NPV と IRR

答え: EAC = 5440 €

等価年間費用：すべての費用の現在価値を、耐用期間にわたる毎年等しい金額（年金）に分けます：EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ)。耐用年数の異なる機械を比較できます。

年金現価係数

(1 − 1.05⁻⁶)/0.05 = 5.076

年換算した購入価格

20 000/5.076 = 3 940.35

EAC

EAC = 3 940.35 + 1 500 = €5 440.35

答え

EAC = €5 440.35

8.NPV と IRR

答え: IRR = 25.17 %

正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。

IRR を挟み込む

利率が上がると NPV は下がるので、IRR は NPV が正の利率と負の利率の間にあります。

NPV(25%) = 48.00

NPV(30%) = −1 317.71

絞り込む

線形補間で最初の見積もりが得られます。これを繰り返す（または電卓の IRR 機能を使う）と正確な利率が得られます。

IRR ≈ 25 + 5·48.00/(48.00 − (−1 317.71)) = 25.18%

正確な値: NPV(25.17%) = 0 → IRR = 25.17%

答え

IRR = 25.17%

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