1公式と解法
貨幣の時間価値
- 将来価値
- FV = PV·(1 + i)n
- 現在価値
- PV = FV/(1 + i)n
- 年に複数の期間
- i = r/m, N = m·n
- 年金現価
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金終価
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
解き方
- すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
- 利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
- 一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
- 答えの符号と桁を確認します。
債券の価格と利回り
- 債券価格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年ごとの利払い
- C/2、y/2、2n 期
- 直接利回り
- C/P
- 価格と利回り
- 利回り上昇 → 価格下落
解き方
- 1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
- 価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
- 半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
- 確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。
CAPM と WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企業価値
- V = E + D
NPV と IRR
- 正味現在価値
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 均等なキャッシュフロー
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部収益率
- NPV = 0 となる r
- 判断
- NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用
解き方
- すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
- 各キャッシュフローを割り引きます：CFt/(1 + r)t。
- それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
- IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。
2演習問題
1.貨幣の時間価値ふつう
€10 000 を年 3%、連続複利で投資します。6 年後の価値 FV を求めなさい。
PV = €10 000r = 3%t = 6
FV = €
2.貨幣の時間価値むずかしい
14 年間、毎月末に €50 を積み立てます。口座の利率は年 4.8%、月複利です。最後にいくら貯まりますか？FV を求めなさい。
A = €504.8% / 12N = 168
FV = €
3.債券の価格と利回りふつう
額面 €1 000 の債券が、年 2% のクーポンを年 2 回に分けて半年ごとに支払い、3 年後に満期を迎えます。最終利回りは年 6% です。 この債券の価格 P を求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 2%YTM = 6%n = 3
P = €
4.債券の価格と利回りむずかしい
額面 €1 000、年クーポン 6% の債券が 3 年後に満期を迎え、€960 で売られています。最終利回り YTM をパーセントで求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 6%n = 3P = €960
YTM = %
5.CAPM と WACCふつう
ある企業は時価 €12 000 000 の株主資本と時価 €3 000 000 の負債をもっています。株主資本コストは 11%、税引前負債コストは 4.5%、税率は 20% です。WACC を求めなさい。
E = €12 000 000D = €3 000 000re = 11%rd = 4.5%T = 20%
WACC = %
6.CAPM と WACCむずかしい
ある会社の事業のアンレバードベータ（資産ベータ）は 1.2 です。負債資本比率を 0.75 にする計画です。税率は 30%、無リスク金利は 3%、市場リスクプレミアムは 5.5% です。新しい資本構成での株主資本コスト re を求めなさい。
βU = 1.2D/E = 0.75T = 30%rf = 3%rm − rf = 5.5%
re = %
7.NPV と IRRふつう
あるプロジェクトの費用は今日 €500 000 です。1 年目の末に €44 000 を生み、その後キャッシュフローは永久に年 3% ずつ増加します。資本コストは 11% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。
C0 = €500 000CF1 = €44 000g = 3%r = 11%
NPV = €
8.NPV と IRRむずかしい
あるプロジェクトの費用は今日 €200 000 です。そのキャッシュフローは 1 年目の末に €40 000 で、6 年目の末の最後のキャッシュフローまで年 2% ずつ増加します。資本コストは 8% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。
C0 = €200 000CF1 = €40 000g = 2%n = 6r = 8%
NPV = €
3溶液
1.貨幣の時間価値
答え: FV = 11972 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
指数
r·t = 0.03·6 = 0.18
e0.18 = 1.197
将来価値
FV = 10 000·1.197 = €11 972.17
2.貨幣の時間価値
答え: FV = 11944 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
月利と積立回数
i = 0.048/12 = 0.004
N = 12·14 = 168
積立金の将来価値
FV = A·((1 + i)N − 1)/i = 50·(1.956 − 1)/0.004 = €11 944.08
自分で払い込んだのは €8 400。残りは利息です。
3.債券の価格と利回り
答え: P = 891.7 €
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
1 期あたり
C = €10.00, i = 0.03, N = 6
クーポンの現在価値
€10.00·(1 − 0.8375)/0.03 = €54.17
利回りがクーポンレートより高いので、債券は額面より安く（アンダーパーで）売られます。
4.債券の価格と利回り
答え: YTM = 7.539 %
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
利回りの方程式
€960 = €60·(1 − (1 + y)⁻³)/y + €1 000/(1 + y)³
数値的に解く
P(7%) = €973.76, P(8%) = €948.46
YTM = 7.539%
5.CAPM と WACC
答え: WACC = 9.52 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
ウェイト
V = €15 000 000, E/V = 0.8, D/V = 0.2
WACC
WACC = 0.8·11% + 0.2·4.5%·(1 − 0.2) = 9.52%
6.CAPM と WACC
答え: re = 13.06 %
レバードベータ（ハマダの式）：負債があると株式のリスクは高まります。βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E) で、βU は負債のない事業のベータです。ベータを別の資本構成に移すには、まずアンレバーし、次に新しい D/E でリレバーします。
レバードベータ
βL = 1.2·(1 + 0.7·0.75) = 1.83
株主資本コスト（CAPM）
re = 3% + 1.83·5.5% = 13.06%
7.NPV と IRR
答え: NPV = 50000 €
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
キャッシュフローの価値
PV = 44 000/(0.11 − 0.03) = 550 000.00
NPV
NPV = 550 000.00 − 500 000 = €50 000.00
NPV は正なので、このプロジェクトは要求収益率より多く稼ぎます。
8.NPV と IRR
答え: NPV = −6449 €
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
成長型年金の現在価値
((1.02)/(1.08))6 = 0.7097
PV = 40 000/(0.08 − 0.02)·(1 − 0.7097) = 193 551.10
NPV
NPV = 193 551.10 − 200 000 = −€6 448.90
NPV は負なので、このプロジェクトは要求収益率より少なくしか稼ぎません。