投資と企業価値評価：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

貨幣の時間価値

将来価値: FV = PV·(1 + i)ⁿ
現在価値: PV = FV/(1 + i)ⁿ
年に複数の期間: i = r/m, N = m·n
年金現価: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金終価: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

解き方

すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
答えの符号と桁を確認します。

債券の価格と利回り

債券価格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年ごとの利払い: C/2、y/2、2n 期
直接利回り: C/P
価格と利回り: 利回り上昇 → 価格下落

解き方

1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。

CAPM と WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企業価値: V = E + D

NPV と IRR

正味現在価値: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
均等なキャッシュフロー: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部収益率: NPV = 0 となる r
判断: NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用

解き方

すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
各キャッシュフローを割り引きます：CF_t/(1 + r)^t。
それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。

2演習問題

1.貨幣の時間価値ふつう

4 年後に €5 000 が必要です。口座の利率は年 4%、月複利です。今日いくら預ければよいですか？現在価値 PV を求めなさい。

FV = €5 0004% / 12n = 4

PV = €

2.貨幣の時間価値むずかしい

€15 000 のローンを 6 年間、毎月の元利均等払いで返済します。金利は年 4.2%、月複利です。毎月の返済額 A を求めなさい。

P = €15 0004.2% / 12N = 72

A = €

3.債券の価格と利回りふつう

額面 €1 000 の債券が、年 4% のクーポンを年 2 回に分けて半年ごとに支払い、4 年後に満期を迎えます。最終利回りは年 3% です。この債券の価格 P を求めなさい。

F = €1 000クーポンレート = 4%YTM = 3%n = 4

P = €

4.債券の価格と利回りむずかしい

ある債券が €930 で取引され、最終利回りは 7%（年複利）、マコーレー・デュレーションは 6.1 年です。利回りが 100 ベーシスポイント上昇した場合の新しい価格 P を、修正デュレーションを使って推定しなさい。

P₀ = €930y = 7%D = 6.1Δy = +100 bp

P = €

5.CAPM と WACCふつう

ある企業は時価 €2 000 000 の株主資本と時価 €6 000 000 の負債をもっています。株主資本コストは 14%、税引前負債コストは 7%、税率は 21% です。WACC を求めなさい。

E = €2 000 000D = €6 000 000r_e = 14%r_d = 7%T = 21%

WACC = %

6.CAPM と WACCむずかしい

ある会社の株主資本の時価は €12 000 000、株主資本コストは 11% です。負債は 5 000 枚の債券（額面 €1 000、年間クーポン 4%、残存期間 12 年）からなり、1 枚 €954 で取引されています。税率は 25% です。債券の最終利回りを税引前負債コストとして、WACC を求めなさい。

E = €12 000 000r_e = 11%債券: 5 000 × €954クーポンレート = 4%n = 12T = 25%

WACC = %

7.NPV と IRRふつう

€45 000 の投資が、1 年目から 3 年目の各年末に次のキャッシュフローを生みます：€9 000, €20 000, €13 000。資本コストは 6% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。

r = 6%CF₀ = −45 000CF₁ = 9 000CF₂ = 20 000CF₃ = 13 000

NPV = €

8.NPV と IRRむずかしい

あるプロジェクトは €40 000 かかり、1 年目から 3 年目の各年末に €16 000, €23 500, €23 000 を生みます。内部収益率 IRR をパーセントで求めなさい。

CF₀ = −40 000CF₁ = 16 000CF₂ = 23 500CF₃ = 23 000

IRR = %

3溶液

1.貨幣の時間価値

答え: PV = 4262 €

貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)ⁿ のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。

利率と期間数

i = 0.04/12 = 0.003333

N = 12·4 = 48

現在価値

PV = FV/(1 + i)^N = 5 000/1.173 = €4 261.85

答え

PV = €4 261.85

2.貨幣の時間価値

答え: A = 236 €

月利と返済回数

i = 0.042/12 = 0.0035

N = 12·6 = 72

返済額

等額 A の支払い N 回の現在価値は A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i です。これを借入額と等しくおいて A を求めます。

(1 + i)^−N = 0.7776

A = 15 000·0.0035/(1 − 0.7776) = €236.05

答え

A = €236.05

3.債券の価格と利回り

答え: P = 1037 €

債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。

1 期あたり

C = €20.00, i = 0.015, N = 8

クーポンの現在価値

€20.00·(1 − 0.8877)/0.015 = €149.72

額面の現在価値

€1 000·0.8877 = €887.71

価格

P = €1 037.43

答え

P = €1 037.43

利回りがクーポンレートより低いので、債券は額面より高く（オーバーパーで）売られます。

4.債券の価格と利回り

答え: P = 877 €

デュレーション：マコーレー・デュレーションは、キャッシュフローの現在価値を重みとした、債券がキャッシュフローを支払う時点の加重平均です：D = Σ t·PVₜ/P。修正デュレーション D/(1 + y) は、利回りがわずかに変化したときの価格変化率を推定します：%ΔP ≈ −D_mod·Δy。

修正デュレーション

D_mod = 6.1/1.07 = 5.701

推定価格変化

%ΔP ≈ −5.701·(0.01) = −5.701%

P ≈ 930·(1 − 0.05701) = €876.98

答え

P = €876.98

デュレーションは線形の推定です。利回りの変化が大きいと、コンベクシティにより実際の価格は少し高くなります。

5.CAPM と WACC

答え: WACC = 7.647 %

資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。

ウェイト

V = €8 000 000, E/V = 0.25, D/V = 0.75

WACC

WACC = 0.25·14% + 0.75·7%·(1 − 0.21) = 7.647%

答え

WACC = 7.647%

6.CAPM と WACC

答え: WACC = 8.832 %

負債コスト（YTM）

954 = 40·(1 − (1 + y)⁻¹²)/y + 1000/(1 + y)¹²

y = 4.505%

時価

D = 5 000·€954 = €4 770 000

V = €16 770 000, E/V = 0.7156, D/V = 0.2844

WACC

WACC = 0.7156·11% + 0.2844·4.505%·(1 − 0.25) = 8.832%

答え

WACC = 8.832%

7.NPV と IRR

答え: NPV = −7794 €

正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。

各キャッシュフローの現在価値

CF₀ = −45 000

CF₁/(1 + 0.06)¹ = 9 000/1.06 = 8 490.57

CF₂/(1 + 0.06)² = 20 000/1.124 = 17 799.93

CF₃/(1 + 0.06)³ = 13 000/1.191 = 10 915.05

合計する

NPV = €−7 794.45

答え

NPV = €−7 794.45

NPV は負なので、このプロジェクトは要求収益率より少なくしか稼ぎません。

8.NPV と IRR

答え: IRR = 24.39 %

IRR を挟み込む

利率が上がると NPV は下がるので、IRR は NPV が正の利率と負の利率の間にあります。

NPV(20%) = 2 962.96

NPV(25%) = −384.00

絞り込む

線形補間で最初の見積もりが得られます。これを繰り返す（または電卓の IRR 機能を使う）と正確な利率が得られます。

IRR ≈ 20 + 5·2 962.96/(2 962.96 − (−384.00)) = 24.43%

正確な値: NPV(24.39%) = 0 → IRR = 24.39%

答え

IRR = 24.39%

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