投資と企業価値評価：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

貨幣の時間価値

将来価値: FV = PV·(1 + i)ⁿ
現在価値: PV = FV/(1 + i)ⁿ
年に複数の期間: i = r/m, N = m·n
年金現価: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金終価: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

解き方

すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
答えの符号と桁を確認します。

債券の価格と利回り

債券価格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年ごとの利払い: C/2、y/2、2n 期
直接利回り: C/P
価格と利回り: 利回り上昇 → 価格下落

解き方

1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。

CAPM と WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企業価値: V = E + D

NPV と IRR

正味現在価値: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
均等なキャッシュフロー: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部収益率: NPV = 0 となる r
判断: NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用

解き方

すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
各キャッシュフローを割り引きます：CF_t/(1 + r)^t。
それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。

2演習問題

1.貨幣の時間価値ふつう

6 年後に €15 000 が必要です。口座の利率は年 3%、四半期複利です。今日いくら預ければよいですか？現在価値 PV を求めなさい。

FV = €15 0003% / 4n = 6

PV = €

2.貨幣の時間価値むずかしい

21 年間、毎年初めに €1 000 を預け入れます。最初の預け入れは今日です。口座の利率は年 8% です。21 年目の末に口座にはいくらありますか？FV を求めなさい。

A = €1 000i = 8%n = 21

FV = €

3.債券の価格と利回りふつう

額面 €1 000 の債券が 5 年後に満期を迎え、年 1 回クーポンを支払います。最終利回りが 9% のとき €806 で売られています。クーポン利率 c をパーセントで求めなさい。

F = €1 000n = 5P = €806YTM = 9%

c = %

4.債券の価格と利回りむずかしい

額面 €1 000 の債券が年 2% のクーポンを支払い、4 年後に満期を迎えます。最終利回りは 3.5% です。マコーレー・デュレーション D を年で求めなさい。

F = €1 000クーポンレート = 2%n = 4YTM = 3.5%

D = 年

5.CAPM と WACCふつう

ある企業は時価 €3 000 000 の株主資本と時価 €1 000 000 の負債をもっています。株主資本コストは 9%、税引前負債コストは 7%、税率は 25.8% です。WACC を求めなさい。

E = €3 000 000D = €1 000 000r_e = 9%r_d = 7%T = 25.8%

WACC = %

6.CAPM と WACCむずかしい

ある企業は1 株 €55.50 の株式 4 000 000 株と、1 口 €1 000 で取引されている債券 5 000 口をもっています。税引前負債コストは 4.5%、税率は 25.8% です。株式のベータは 1.5、無リスク金利は 3%、市場収益率は 10% です。WACC を求めなさい。

β = 1.5r_f = 3%r_m = 10%r_d = 4.5%T = 25.8%

WACC = %

7.NPV と IRRふつう

€45 000 の投資が、1 年目から 4 年目の各年末に次のキャッシュフローを生みます：€11 000, €17 000, €14 000, €18 000。資本コストは 5% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。

r = 5%CF₀ = −45 000CF₁ = 11 000CF₂ = 17 000CF₃ = 14 000CF₄ = 18 000

NPV = €

8.NPV と IRRむずかしい

あるプロジェクトは €20 000 かかり、1 年目から 3 年目の各年末に €12 500, €9 000, €15 000 を生みます。内部収益率 IRR をパーセントで求めなさい。

CF₀ = −20 000CF₁ = 12 500CF₂ = 9 000CF₃ = 15 000

IRR = %

3溶液

1.貨幣の時間価値

答え: PV = 12537 €

貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)ⁿ のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。

利率と期間数

i = 0.03/4 = 0.0075

N = 4·6 = 24

現在価値

PV = FV/(1 + i)^N = 15 000/1.196 = €12 537.47

答え

PV = €12 537.47

2.貨幣の時間価値

答え: FV = 54457 €

通常の年金係数

((1 + 0.08)²¹ − 1)/0.08 = 50.42

期首払い年金

各預け入れは 1 年長く運用されます。

FV = 1 000·50.42·1.08 = €54 456.76

答え

FV = €54 456.76

3.債券の価格と利回り

答え: c = 4.012 %

債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。

額面の現在価値

1000·(1 + 0.09)⁻⁵ = €649.93

クーポン

C = (806 − 649.93)/3.89 = €40.12

クーポン・レート

c = 40.12/1000 = 4.012%

答え

c = 4.012%

4.債券の価格と利回り

答え: D = 3.88 年

デュレーション：マコーレー・デュレーションは、キャッシュフローの現在価値を重みとした、債券がキャッシュフローを支払う時点の加重平均です：D = Σ t·PVₜ/P。修正デュレーション D/(1 + y) は、利回りがわずかに変化したときの価格変化率を推定します：%ΔP ≈ −D_mod·Δy。

各キャッシュフローの現在価値

t = 1: 20/1.035 = 19.32, t·PV = 19.32

t = 2: 20/1.071 = 18.67, t·PV = 37.34

t = 3: 20/1.109 = 18.04, t·PV = 54.12

t = 4: 1020/1.148 = 888.87, t·PV = 3 555.48

デュレーション

P = 944.90

D = 3 666.26/944.90 = 3.88

答え

D = 3.88 年

5.CAPM と WACC

答え: WACC = 8.049 %

資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。

ウェイト

V = €4 000 000, E/V = 0.75, D/V = 0.25

WACC

WACC = 0.75·9% + 0.25·7%·(1 − 0.258) = 8.049%

答え

WACC = 8.049%

6.CAPM と WACC

答え: WACC = 13.28 %

時価

E = 4 000 000·€55.50 = €222 000 000

D = 5 000·€1 000 = €5 000 000

株主資本コスト（CAPM）

r_e = 3% + 1.5·7% = 13.5%

ウェイト

V = €227 000 000, E/V = 0.978, D/V = 0.02203

WACC

WACC = 0.978·13.5% + 0.02203·4.5%·(1 − 0.258) = 13.28%

答え

WACC = 13.28%

7.NPV と IRR

答え: NPV = 7798 €

正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。

各キャッシュフローの現在価値

CF₀ = −45 000

CF₁/(1 + 0.05)¹ = 11 000/1.05 = 10 476.19

CF₂/(1 + 0.05)² = 17 000/1.103 = 15 419.50

CF₃/(1 + 0.05)³ = 14 000/1.158 = 12 093.73

CF₄/(1 + 0.05)⁴ = 18 000/1.216 = 14 808.64

合計する

NPV = €7 798.06

答え

NPV = €7 798.06

NPV は正なので、このプロジェクトは要求収益率より多く稼ぎます。

8.NPV と IRR

答え: IRR = 36.07 %

IRR を挟み込む

利率が上がると NPV は下がるので、IRR は NPV が正の利率と負の利率の間にあります。

NPV(35%) = 294.16

NPV(40%) = −1 013.12

絞り込む

線形補間で最初の見積もりが得られます。これを繰り返す（または電卓の IRR 機能を使う）と正確な利率が得られます。

IRR ≈ 35 + 5·294.16/(294.16 − (−1 013.12)) = 36.13%

正確な値: NPV(36.07%) = 0 → IRR = 36.07%

答え

IRR = 36.07%

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