投資と企業価値評価：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

貨幣の時間価値

将来価値: FV = PV·(1 + i)ⁿ
現在価値: PV = FV/(1 + i)ⁿ
年に複数の期間: i = r/m, N = m·n
年金現価: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金終価: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

解き方

すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
答えの符号と桁を確認します。

債券の価格と利回り

債券価格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年ごとの利払い: C/2、y/2、2n 期
直接利回り: C/P
価格と利回り: 利回り上昇 → 価格下落

解き方

1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。

CAPM と WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企業価値: V = E + D

NPV と IRR

正味現在価値: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
均等なキャッシュフロー: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部収益率: NPV = 0 となる r
判断: NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用

解き方

すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
各キャッシュフローを割り引きます：CF_t/(1 + r)^t。
それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。

2演習問題

1.貨幣の時間価値ふつう

10 年後に €25 000 が必要です。口座の利率は年 4%、四半期複利です。今日いくら預ければよいですか？現在価値 PV を求めなさい。

FV = €25 0004% / 4n = 10

PV = €

2.貨幣の時間価値むずかしい

9 年間、毎年初めに €1 000 を預け入れます。最初の預け入れは今日です。口座の利率は年 5% です。9 年目の末に口座にはいくらありますか？FV を求めなさい。

A = €1 000i = 5%n = 9

FV = €

3.債券の価格と利回りふつう

額面 €1 000 の債券が、年 4.5% のクーポンを年 2 回に分けて半年ごとに支払い、6 年後に満期を迎えます。最終利回りは年 3.5% です。この債券の価格 P を求めなさい。

F = €1 000クーポンレート = 4.5%YTM = 3.5%n = 6

P = €

4.債券の価格と利回りむずかしい

額面 €1 000 の債券が年 3% のクーポンを半年ごとの 2 回に分けて支払い、8 年後に満期を迎えます。価格は €965 です。最終利回り YTM を年率（半年利回りの 2 倍）としてパーセントで求めなさい。

F = €1 000クーポンレート = 3% (2×)n = 8P = €965

YTM = %

5.CAPM と WACCふつう

ある企業は時価 €12 000 000 の株主資本と時価 €4 000 000 の負債をもっています。株主資本コストは 11%、税引前負債コストは 6%、税率は 30% です。WACC を求めなさい。

E = €12 000 000D = €4 000 000r_e = 11%r_d = 6%T = 30%

WACC = %

6.CAPM と WACCむずかしい

ある企業は1 株 €27.00 の株式 1 000 000 株と、1 口 €960 で取引されている債券 5 000 口をもっています。税引前負債コストは 3.5%、税率は 30% です。株式のベータは 1.3、無リスク金利は 2%、市場収益率は 6% です。WACC を求めなさい。

β = 1.3r_f = 2%r_m = 6%r_d = 3.5%T = 30%

WACC = %

7.NPV と IRRふつう

€60 000 の投資が、1 年目から 3 年目の各年末に次のキャッシュフローを生みます：€20 000, €19 000, €15 000。資本コストは 7.000000000000001% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。

r = 7.000000000000001%CF₀ = −60 000CF₁ = 20 000CF₂ = 19 000CF₃ = 15 000

NPV = €

8.NPV と IRRむずかしい

あるプロジェクトは €20 000 かかり、1 年目から 3 年目の各年末に €7 500, €7 000, €12 500 を生みます。内部収益率 IRR をパーセントで求めなさい。

CF₀ = −20 000CF₁ = 7 500CF₂ = 7 000CF₃ = 12 500

IRR = %

3溶液

1.貨幣の時間価値

答え: PV = 16791 €

貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)ⁿ のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。

利率と期間数

i = 0.04/4 = 0.01

N = 4·10 = 40

現在価値

PV = FV/(1 + i)^N = 25 000/1.489 = €16 791.33

答え

PV = €16 791.33

2.貨幣の時間価値

答え: FV = 11578 €

通常の年金係数

((1 + 0.05)⁹ − 1)/0.05 = 11.03

期首払い年金

各預け入れは 1 年長く運用されます。

FV = 1 000·11.03·1.05 = €11 577.89

答え

FV = €11 577.89

3.債券の価格と利回り

答え: P = 1054 €

債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。

1 期あたり

C = €22.50, i = 0.0175, N = 12

クーポンの現在価値

€22.50·(1 − 0.8121)/0.0175 = €241.64

額面の現在価値

€1 000·0.8121 = €812.06

価格

P = €1 053.70

答え

P = €1 053.70

利回りがクーポンレートより低いので、債券は額面より高く（オーバーパーで）売られます。

4.債券の価格と利回り

答え: YTM = 3.506 %

1 期あたり

C = €15.00, N = 16

数値的に解く

i = 1.753% 半年あたり

YTM

YTM = 2·1.753% = 3.506%

答え

YTM = 3.506%

5.CAPM と WACC

答え: WACC = 9.3 %

資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。

ウェイト

V = €16 000 000, E/V = 0.75, D/V = 0.25

WACC

WACC = 0.75·11% + 0.25·6%·(1 − 0.3) = 9.3%

答え

WACC = 9.3%

6.CAPM と WACC

答え: WACC = 6.483 %

時価

E = 1 000 000·€27.00 = €27 000 000

D = 5 000·€960 = €4 800 000

株主資本コスト（CAPM）

r_e = 2% + 1.3·4% = 7.2%

ウェイト

V = €31 800 000, E/V = 0.8491, D/V = 0.1509

WACC

WACC = 0.8491·7.2% + 0.1509·3.5%·(1 − 0.3) = 6.483%

答え

WACC = 6.483%

7.NPV と IRR

答え: NPV = −12469 €

正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。

各キャッシュフローの現在価値

CF₀ = −60 000

CF₁/(1 + 0.07)¹ = 20 000/1.07 = 18 691.59

CF₂/(1 + 0.07)² = 19 000/1.145 = 16 595.34

CF₃/(1 + 0.07)³ = 15 000/1.225 = 12 244.47

合計する

NPV = €−12 468.61

答え

NPV = €−12 468.61

NPV は負なので、このプロジェクトは要求収益率より少なくしか稼ぎません。

8.NPV と IRR

答え: IRR = 15.09 %

IRR を挟み込む

利率が上がると NPV は下がるので、IRR は NPV が正の利率と負の利率の間にあります。

NPV(15%) = 33.70

NPV(20%) = −1 655.09

絞り込む

線形補間で最初の見積もりが得られます。これを繰り返す（または電卓の IRR 機能を使う）と正確な利率が得られます。

IRR ≈ 15 + 5·33.70/(33.70 − (−1 655.09)) = 15.1%

正確な値: NPV(15.09%) = 0 → IRR = 15.09%

答え

IRR = 15.09%

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