投資と企業価値評価：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

貨幣の時間価値

将来価値: FV = PV·(1 + i)ⁿ
現在価値: PV = FV/(1 + i)ⁿ
年に複数の期間: i = r/m, N = m·n
年金現価: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金終価: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

解き方

すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
答えの符号と桁を確認します。

債券の価格と利回り

債券価格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年ごとの利払い: C/2、y/2、2n 期
直接利回り: C/P
価格と利回り: 利回り上昇 → 価格下落

解き方

1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。

CAPM と WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企業価値: V = E + D

NPV と IRR

正味現在価値: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
均等なキャッシュフロー: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部収益率: NPV = 0 となる r
判断: NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用

解き方

すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
各キャッシュフローを割り引きます：CF_t/(1 + r)^t。
それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。

2演習問題

1.貨幣の時間価値ふつう

4 年後に €50 000 が必要です。口座の利率は年 2%、四半期複利です。今日いくら預ければよいですか？現在価値 PV を求めなさい。

FV = €50 0002% / 4n = 4

PV = €

2.貨幣の時間価値むずかしい

€20 000 のローンを 6 年間、毎月の元利均等払いで返済します。金利は年 3.6%、月複利です。毎月の返済額 A を求めなさい。

P = €20 0003.6% / 12N = 72

A = €

3.債券の価格と利回りふつう

額面 €1 000 の債券が、年 6% のクーポンを年 2 回に分けて半年ごとに支払い、11 年後に満期を迎えます。最終利回りは年 9% です。この債券の価格 P を求めなさい。

F = €1 000クーポンレート = 6%YTM = 9%n = 11

P = €

4.債券の価格と利回りむずかしい

額面 €1 000、年クーポン 4% の債券が 8 年後に満期を迎え、€1 110 で売られています。最終利回り YTM をパーセントで求めなさい。

F = €1 000クーポンレート = 4%n = 8P = €1 110

YTM = %

5.CAPM と WACCふつう

ベータ 1.25 の株式の要求収益率は 9.25% です。無リスク金利は 3% です。CAPM から導かれる市場の期待収益率 r_m はいくらですか？

β = 1.25r_e = 9.25%r_f = 3%

r_m = %

6.CAPM と WACCむずかしい

ある会社の株式のベータは、現在の負債資本比率 0.4 で 1 です。負債資本比率を 0.75 に引き上げる計画です。税率は 28%、無リスク金利は 1.5%、市場リスクプレミアムは 6% です。変更後の株主資本コスト r_e を求めなさい。

β_L = 1D/E₁ = 0.4D/E₂ = 0.75T = 28%r_f = 1.5%r_m − r_f = 6%

r_e = %

7.NPV と IRRふつう

あるプロジェクトの費用は今日 €250 000 です。1 年目の末に €14 000 を生み、その後キャッシュフローは永久に年 3% ずつ増加します。資本コストは 10% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。

C₀ = €250 000CF₁ = €14 000g = 3%r = 10%

NPV = €

8.NPV と IRRむずかしい

あるプロジェクトは €25 000 かかり、1 年目から 3 年目の各年末に €16 500, €14 000, €15 000 を生みます。内部収益率 IRR をパーセントで求めなさい。

CF₀ = −25 000CF₁ = 16 500CF₂ = 14 000CF₃ = 15 000

IRR = %

3溶液

1.貨幣の時間価値

答え: PV = 46165 €

貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)ⁿ のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。

利率と期間数

i = 0.02/4 = 0.005

N = 4·4 = 16

現在価値

PV = FV/(1 + i)^N = 50 000/1.083 = €46 165.02

答え

PV = €46 165.02

2.貨幣の時間価値

答え: A = 309.3 €

月利と返済回数

i = 0.036000000000000004/12 = 0.003

N = 12·6 = 72

返済額

等額 A の支払い N 回の現在価値は A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i です。これを借入額と等しくおいて A を求めます。

(1 + i)^−N = 0.806

A = 20 000·0.003/(1 − 0.806) = €309.27

答え

A = €309.27

3.債券の価格と利回り

答え: P = 793.2 €

債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。

1 期あたり

C = €30.00, i = 0.045, N = 22

クーポンの現在価値

€30.00·(1 − 0.3797)/0.045 = €413.53

額面の現在価値

€1 000·0.3797 = €379.70

価格

P = €793.23

答え

P = €793.23

利回りがクーポンレートより高いので、債券は額面より安く（アンダーパーで）売られます。

4.債券の価格と利回り

答え: YTM = 2.468 %

利回りの方程式

€1 110 = €40·(1 − (1 + y)⁻⁸)/y + €1 000/(1 + y)⁸

数値的に解く

P(2%) = €1 146.51, P(3%) = €1 070.20

YTM = 2.468%

答え

YTM = 2.468%

5.CAPM と WACC

答え: r_m = 8 %

資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。

市場リスクプレミアム

r_m − r_f = (9.25% − 3%)/1.25 = 5%

市場収益率

r_m = 3% + 5% = 8%

答え

r_m = 8%

6.CAPM と WACC

答え: r_e = 8.674 %

レバードベータ（ハマダの式）：負債があると株式のリスクは高まります。β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E) で、β_U は負債のない事業のベータです。ベータを別の資本構成に移すには、まずアンレバーし、次に新しい D/E でリレバーします。

ベータをアンレバーする

β_U = 1/(1 + 0.72·0.4) = 0.7764

新しい D/E でリレバーする

β_L = 0.7764·(1 + 0.72·0.75) = 1.196

株主資本コスト（CAPM）

r_e = 1.5% + 1.196·6% = 8.674%

答え

r_e = 8.674%

7.NPV と IRR

答え: NPV = −50000 €

正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。

キャッシュフローの価値

PV = 14 000/(0.1 − 0.03) = 200 000.00

NPV

NPV = 200 000.00 − 250 000 = −€50 000.00

答え

NPV = −€50 000.00

NPV は負なので、このプロジェクトは要求収益率より少なくしか稼ぎません。

8.NPV と IRR

答え: IRR = 38.05 %

IRR を挟み込む

利率が上がると NPV は下がるので、IRR は NPV が正の利率と負の利率の間にあります。

NPV(35%) = 1 000.61

NPV(40%) = −604.96

絞り込む

線形補間で最初の見積もりが得られます。これを繰り返す（または電卓の IRR 機能を使う）と正確な利率が得られます。

IRR ≈ 35 + 5·1 000.61/(1 000.61 − (−604.96)) = 38.12%

正確な値: NPV(38.05%) = 0 → IRR = 38.05%

答え

IRR = 38.05%

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