1公式と解法
貨幣の時間価値
- 将来価値
- FV = PV·(1 + i)n
- 現在価値
- PV = FV/(1 + i)n
- 年に複数の期間
- i = r/m, N = m·n
- 年金現価
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金終価
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
解き方
- すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
- 利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
- 一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
- 答えの符号と桁を確認します。
債券の価格と利回り
- 債券価格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年ごとの利払い
- C/2、y/2、2n 期
- 直接利回り
- C/P
- 価格と利回り
- 利回り上昇 → 価格下落
解き方
- 1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
- 価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
- 半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
- 確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。
CAPM と WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企業価値
- V = E + D
NPV と IRR
- 正味現在価値
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 均等なキャッシュフロー
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部収益率
- NPV = 0 となる r
- 判断
- NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用
解き方
- すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
- 各キャッシュフローを割り引きます：CFt/(1 + r)t。
- それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
- IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。
2演習問題
1.貨幣の時間価値ふつう
名目年利 5%、月複利で €2 000 を投資します。4 年後の投資の価値 FV を求めなさい。
PV = €2 0005% / 12n = 4
FV = €
2.貨幣の時間価値むずかしい
16 年後に €10 000 が欲しいとします。年 3.6%、月複利の口座に、毎月末に同じ額を積み立てます。毎月の積立額 A を求めなさい。
FV = €10 0003.6% / 12N = 192
A = €
3.債券の価格と利回りふつう
最終利回りが 8% のときに、残存期間 8 年の債券（額面 €1 000、年間クーポン 4.5%）を購入します。1 年後、最初のクーポンを受け取った直後に、最終利回りが 9% のときに売却します。保有期間利回り HPR をパーセントで求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 4.5%n = 8y0 = 8%y1 = 9%
HPR = %
4.債券の価格と利回りむずかしい
残存期間 16 年の債券（額面 €1 000、年間クーポン 8%）が €1 202 で売られています。発行者は 3 年後に €1 080 の償還価格で繰上償還できます。繰上償還利回り YTC をパーセントで求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 8%P = €1 202繰上償還価格 = €1 080繰上償還まで 3 年
YTC = %
5.CAPM と WACCふつう
ある企業は時価 €4 000 000 の株主資本と時価 €3 000 000 の負債をもっています。株主資本コストは 13%、税引前負債コストは 3%、税率は 30% です。WACC を求めなさい。
E = €4 000 000D = €3 000 000re = 13%rd = 3%T = 30%
WACC = %
6.CAPM と WACCむずかしい
ある企業は1 株 €52.00 の株式 2 000 000 株と、1 口 €980 で取引されている債券 40 000 口をもっています。税引前負債コストは 7%、税率は 30% です。株式のベータは 1.8、無リスク金利は 2%、市場収益率は 9% です。WACC を求めなさい。
β = 1.8rf = 2%rm = 9%rd = 7%T = 30%
WACC = %
7.NPV と IRRふつう
€45 000 の投資が、1 年目から 4 年目の各年末に次のキャッシュフローを生みます：€17 000, €21 000, €20 000, €17 000。資本コストは 10% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。
r = 10%CF0 = −45 000CF1 = 17 000CF2 = 21 000CF3 = 20 000CF4 = 17 000
NPV = €
8.NPV と IRRむずかしい
あるプロジェクトの費用は €50 000 で、1 年目から 3 年目の各年末に €24 000, €23 500, €24 000 を生みます。キャッシュフローは資本コスト 12% で再投資できます。修正内部収益率 MIRR をパーセントで求めなさい。
r = 12%CF0 = −50 000CF1 = 24 000CF2 = 23 500CF3 = 24 000
MIRR = %
3溶液
1.貨幣の時間価値
答え: FV = 2442 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
利率と期間数
i = r/m = 0.05/12 = 0.004167
N = m·n = 12·4 = 48
将来価値
FV = 2 000·(1 + 0.004167)48 = 2 000·1.221 = €2 441.79
2.貨幣の時間価値
答え: A = 38.59 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
月利と積立回数
i = 0.036000000000000004/12 = 0.003
N = 12·16 = 192
積立額
A = FV·i/((1 + i)N − 1) = 10 000·0.003/(1.777 − 1) = €38.59
3.債券の価格と利回り
答え: HPR = 2.46 %
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
購入価格
C = €45.00, i = 0.08, N = 8
€45.00·(1 − 0.5403)/0.08 + €1 000·0.5403 = €258.60 + €540.27 = €798.87
売却価格
C = €45.00, i = 0.09, N = 7
€45.00·(1 − 0.547)/0.09 + €1 000·0.547 = €226.48 + €547.03 = €773.52
保有期間利回り
HPR = (45 + 773.52 − 798.87)/798.87 = 2.46%
4.債券の価格と利回り
答え: YTC = 3.384 %
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
利回りの方程式
1202 = 80·(1 − (1 + y)−3)/y + 1080/(1 + y)3
数値的に解く
y = 3%: €1 214.64
y = 4%: €1 182.12
YTC = 3.384%
最終利回りは 6.001% です。オーバーパー債券の投資家は繰上償還を予想するので、低い方の繰上償還利回りの方が現実的です。
5.CAPM と WACC
答え: WACC = 8.329 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
ウェイト
V = €7 000 000, E/V = 0.5714, D/V = 0.4286
WACC
WACC = 0.5714·13% + 0.4286·3%·(1 − 0.3) = 8.329%
6.CAPM と WACC
答え: WACC = 11.94 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
時価
E = 2 000 000·€52.00 = €104 000 000
D = 40 000·€980 = €39 200 000
ウェイト
V = €143 200 000, E/V = 0.7263, D/V = 0.2737
WACC
WACC = 0.7263·14.6% + 0.2737·7%·(1 − 0.3) = 11.94%
7.NPV と IRR
答え: NPV = 14447 €
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
各キャッシュフローの現在価値
CF0 = −45 000
CF1/(1 + 0.1)1 = 17 000/1.1 = 15 454.55
CF2/(1 + 0.1)2 = 21 000/1.21 = 17 355.37
CF3/(1 + 0.1)3 = 20 000/1.331 = 15 026.30
CF4/(1 + 0.1)4 = 17 000/1.464 = 11 611.23
NPV は正なので、このプロジェクトは要求収益率より多く稼ぎます。
8.NPV と IRR
答え: MIRR = 17.17 %
修正 IRR：各流入を再投資利率（通常は資本コスト）でプロジェクトの終わりまで複利計算し、終価 TV を求めます。MIRR は初期投資を TV に変える利率です：MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1。
流入の終価
24 000·1.122 = 30 105.60
23 500·1.121 = 26 320.00
24 000·1.120 = 24 000.00
TV = 80 425.60
MIRR
MIRR = (80 425.60/50 000)1/3 − 1 = 17.17%