1公式と解法
貨幣の時間価値
- 将来価値
- FV = PV·(1 + i)n
- 現在価値
- PV = FV/(1 + i)n
- 年に複数の期間
- i = r/m, N = m·n
- 年金現価
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金終価
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
解き方
- すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
- 利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
- 一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
- 答えの符号と桁を確認します。
債券の価格と利回り
- 債券価格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年ごとの利払い
- C/2、y/2、2n 期
- 直接利回り
- C/P
- 価格と利回り
- 利回り上昇 → 価格下落
解き方
- 1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
- 価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
- 半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
- 確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。
CAPM と WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企業価値
- V = E + D
NPV と IRR
- 正味現在価値
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 均等なキャッシュフロー
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部収益率
- NPV = 0 となる r
- 判断
- NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用
解き方
- すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
- 各キャッシュフローを割り引きます：CFt/(1 + r)t。
- それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
- IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。
2演習問題
1.貨幣の時間価値ふつう
年金が毎年末に €3 000 を 9 年間支払います。利率は年 6% です。この年金の現在価値 PV を求めなさい。
A = €3 000i = 6%n = 9
PV = €
2.貨幣の時間価値むずかしい
€15 000 のローンを、年 5.4%、月複利で 5 年間の元利均等の月払いで返済します。ローン期間全体で支払う利息の合計 I はいくらですか？
P = €15 0005.4% / 12N = 60
I = €
3.債券の価格と利回りふつう
額面 €1 000 の債券が、年 4% のクーポンを年 2 回に分けて半年ごとに支払い、5 年後に満期を迎えます。最終利回りは年 2.5% です。 この債券の価格 P を求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 4%YTM = 2.5%n = 5
P = €
4.債券の価格と利回りむずかしい
額面 €1 000、年クーポン 4% の債券が 3 年後に満期を迎え、€1 060 で売られています。最終利回り YTM をパーセントで求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 4%n = 3P = €1 060
YTM = %
5.CAPM と WACCふつう
ある企業は時価 €12 000 000 の株主資本と時価 €6 000 000 の負債をもっています。株主資本コストは 14%、税引前負債コストは 3%、税率は 28% です。WACC を求めなさい。
E = €12 000 000D = €6 000 000re = 14%rd = 3%T = 28%
WACC = %
6.CAPM と WACCむずかしい
ある会社の事業のアンレバードベータ（資産ベータ）は 0.9 です。負債資本比率を 0.5 にする計画です。税率は 20%、無リスク金利は 4%、市場リスクプレミアムは 4% です。新しい資本構成での株主資本コスト re を求めなさい。
βU = 0.9D/E = 0.5T = 20%rf = 4%rm − rf = 4%
re = %
7.NPV と IRRふつう
あるプロジェクトの費用は今日 €40 000 で、1 年目から 6 年目の各年末に €12 000, €10 500, €9 500, €13 000, €12 500, €13 000 を生みます。資本コストは 6% です。キャッシュフローは各年の間に均等に入ると仮定します。割引回収期間 DPB を年で求めなさい。
r = 6%CF0 = −40 000CF1 = 12 000CF2 = 10 500CF3 = 9 500CF4 = 13 000CF5 = 12 500CF6 = 13 000
DPB = 年
8.NPV と IRRむずかしい
あるプロジェクトは €40 000 かかり、1 年目から 3 年目の各年末に €28 000, €27 500, €28 000 を生みます。内部収益率 IRR をパーセントで求めなさい。
CF0 = −40 000CF1 = 28 000CF2 = 27 500CF3 = 28 000
IRR = %
3溶液
1.貨幣の時間価値
答え: PV = 20405 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
年金現価係数
(1 − (1 + i)−n)/i = (1 − 0.5919)/0.06 = 6.802
現在価値
PV = 3 000·6.802 = €20 405.08
2.貨幣の時間価値
答え: I = 2150 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
毎月の返済額
i = 0.0045, N = 60
A = 15 000·0.0045/(1 − (1 + 0.0045)−60) = €285.83
利息の総額
I = N·A − P = 60·285.8 − 15 000 = €2 149.54
3.債券の価格と利回り
答え: P = 1070 €
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
1 期あたり
C = €20.00, i = 0.0125, N = 10
クーポンの現在価値
€20.00·(1 − 0.8832)/0.0125 = €186.91
利回りがクーポンレートより低いので、債券は額面より高く（オーバーパーで）売られます。
4.債券の価格と利回り
答え: YTM = 1.923 %
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
利回りの方程式
€1 060 = €40·(1 − (1 + y)⁻³)/y + €1 000/(1 + y)³
数値的に解く
P(1%) = €1 088.23, P(2%) = €1 057.68
YTM = 1.923%
5.CAPM と WACC
答え: WACC = 10.05 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
ウェイト
V = €18 000 000, E/V = 0.6667, D/V = 0.3333
WACC
WACC = 0.6667·14% + 0.3333·3%·(1 − 0.28) = 10.05%
6.CAPM と WACC
答え: re = 9.04 %
レバードベータ（ハマダの式）：負債があると株式のリスクは高まります。βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E) で、βU は負債のない事業のベータです。ベータを別の資本構成に移すには、まずアンレバーし、次に新しい D/E でリレバーします。
レバードベータ
βL = 0.9·(1 + 0.8·0.5) = 1.26
株主資本コスト（CAPM）
re = 4% + 1.26·4% = 9.04%
7.NPV と IRR
答え: DPB = 4.114 年
回収期間：累積キャッシュフローが初期投資を回収するまでの時間です。現金は各年の間に均等に入ると仮定するので、最後の部分は 1 年の端数になります。単純回収期間は貨幣の時間価値を無視します。割引回収期間では、代わりに割り引いたキャッシュフローを使います。
割引キャッシュフローと累積キャッシュフロー
年度 1: 12 000/1.06 = 11 320.75 → Σ = 11 320.75
年度 2: 10 500/1.124 = 9 344.96 → Σ = 20 665.72
年度 3: 9 500/1.191 = 7 976.38 → Σ = 28 642.10
年度 4: 13 000/1.262 = 10 297.22 → Σ = 38 939.32
年度 5: 12 500/1.338 = 9 340.73 → Σ = 48 280.05
最後の年の端数
DPB = 4 + 1 060.68/9 340.73 = 4.114
割引回収期間は、常に単純回収期間（3.615 年）より長くなります。
8.NPV と IRR
答え: IRR = 48.24 %
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
IRR を挟み込む
利率が上がると NPV は下がるので、IRR は NPV が正の利率と負の利率の間にあります。
NPV(45%) = 1 574.48
NPV(50%) = −814.81
絞り込む
線形補間で最初の見積もりが得られます。これを繰り返す（または電卓の IRR 機能を使う）と正確な利率が得られます。
IRR ≈ 45 + 5·1 574.48/(1 574.48 − (−814.81)) = 48.29%
正確な値: NPV(48.24%) = 0 → IRR = 48.24%